Ensino Médio ⇒ (Iezzi) Função Modular Tópico resolvido

[mahriana]

Construa os gráficos da seguinte função real :

[tex3]\frac{\left | x^2 - 2x \right |- \left | x^2-4 \right |}{2}[/tex3]

Resposta

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Gostaria apenas do racicíonio para as leis de formação do gráfico

[LPavaNNN]

Tem que fazer alguns curvas de gráficos, essas curvas, terão intersecções, e lugares onde as linhas verticais, n cortam o gráfico em uma parte só, o que n constitui uma função, portanto, tem que escolher as partes, convencionalmente.

1º-Vamos fazer quadro de sinais.

[tex3]x^2-2x=0\\x(x-2)=0\\x=0\\x=2[/tex3]

então [tex3]x^2-2x>0[/tex3] Quando x<0 ou x>2 ou seja e [tex3]x^2-2x<0[/tex3] quando 0<x<2, portanto:

quando x<0 ou x>2----->[tex3]|x^2-2x|=x^2-2x[/tex3] e quando 0<x<2---->[tex3]|x^2-2x|=2x-x^2[/tex3]

para a outra parte da equação:

[tex3]x^2-4\\x^2=4\\x=2\\x=-2[/tex3] Então[tex3]x^2-4>0[/tex3] quando x<-2 ou x>2 [tex3]x^2-4<0[/tex3] quando -2<x<2



Portanto: [tex3]|x^2-4|=x^2-4[/tex3] quando x<-2 ou x>2 [tex3]|x^2-4|=4-x^2[/tex3] quando -2<x<2

2º-Podemos construir 4 equações diferentes, para diferentes possíveis valores de x.

1ª equação, para x<-2 [tex3]|x^2-2x|=x^2-2x[/tex3] e [tex3]|x^2-4|=x^2-4[/tex3]

substituindo, achamos a equação: [tex3]2-x[/tex3]

Achando essa primeira equação, vc faz o gráfico dela, a curva do gráfico que vai ser válida, é aquela com domínio x<-2, o resto , pode apagar.

Para -2<x<0---->[tex3]\frac{x^2-2x-(4-x^2)}{2}=x^2-x-2[/tex3] ENtão repete o processo, faz um gráfico para essa função, a curva do gráfico, vai ser aquela com domínio ]-2,0[ , apague o resto do gráfico.

vc vai repetir esse processo, para 0<x<2, e para x>2 , então, o gráfico para essa função modular, vai ser a únião, entre 4 gráficos, encontrados a partir dela. tentei só '' te dar a lluz '' como vc havia pedido, caso, n tenha sido claro, avise.

[emanuel9393MOD]

Olá, mahriana!

Resolvendo a coleção Os Fundamentos de Matemática Elementar? . É um livro muito bom. Vamos a resolução do problema:
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Observe que:
[tex3]|x^{2} \, - \, 2x| \, = \, \begin{cases}x^{2} \, - \, 2x \ \ \ \ se \ \ \ x \ \leq 0 \ \ ou \ \ x \ \geq \ 2 \\ - x^{2} \, + \, 2x \,\,\, se \,\,\,\,\,\,\, \ \ 0 \, < \, x \, < \, 2 \end{cases} \\ \\ \\ |x^{2} \, - \, 4| \, = \, \begin{cases} x^{2} \, - \, 4 \,\,\,\,\, se \,\,\,\, x \, \leq \, -2 \,\,\, ou \,\,\,\, x \geq \, 2 \\ - x^{2} \, + \, 4 \,\,\,\,\,\, se \,\,\,\,\, -2 \, < \, x \, < \, 2\end{cases}[/tex3]
Vamos analisar 4 casos:
[tex3]1) \operatorname{Para} \,\,\, x \, \leq \, -2 \,\,\,\,\, \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \frac{|x^{2} \, - \, 2x| \, - \, |x^{2} \, - \, 4|}{2} \, = \, \frac{x^{2} \, - \, 2x \, - \, x^{2} \, + \, 4}{2} \, = \, \boxed{-x \, + \, 2} \\ \\ 2) \operatorname{Para} \,\,\, -2 \, < \, x \, \leq \, 0 \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \frac{|x^{2} \, - \, 2x| \, - \, |x^{2} \, - \, 4|}{2} \, = \, \frac{x^{2} \, - \, 2x \, + \, x^{2} \, - \, 4}{2} \, = \, \boxed{x^{2} \, - \, x \, - \, 2} \\ \\ 3) \operatorname{Para} \,\,\, 0 \, < \, x \, \leq \, \, 2 \,\,\,\,\, \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \frac{|x^{2} \, - \, 2x| \, - \, |x^{2} \, - \, 4|}{2} \, = \, \frac{- x^{2} \, + \, 2x \, + \, x^{2} \, - \, 4}{2} \, = \, \boxed{x \, - \, 2} \\ \\ 4) \operatorname{Para} \,\,\, x \, > \, 2 \,\,\,\,\, \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \frac{|x^{2} \, - \, 2x| \, - \, |x^{2} \, - \, 4|}{2} \, = \, \frac{x^{2} \, - \, 2x \, - \, x^{2} \, + \, 4}{2} \, = \, \boxed{- \, x \, + \, 2}[/tex3]
Com isso, a função dada pode ser representada como uma função definida por sentenças:
[tex3]f \left(x\right) \, = \, \begin{cases} - x \, + \, 2 \,\,\,\,\,\,\,\, \ \ \ \ \ \ se \, \,\,\,\, x \, \leq \, - \, 2 \,\,\, ou \,\,\, x \, > \, 2 \\ x^{2} \, - \, x \, - \, 2 \ \ \ \ \ se \,\,\,\, -2 \, < \, x \, \leq \, 0 \\ x \, - \, 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, \,\,\, se \,\,\,\,\,\,\,\, 0 \, < \, x \, \leq \, 2\end{cases}[/tex3]
Pronto, agora só basta esboçar o gráfico.

Um abraço!