Ensino Médio ⇒ Função Sobrejetora Tópico resolvido

[mahriana]

Se f, g :[tex3]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3] duas funções tais que :

[tex3](gof)\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] é sobrejetora.Prove que g é sobrejetora.

[emanuel9393MOD]

Olá, mahriana!

Se [tex3]\left(g \circ f\right)[/tex3] é sobrejetora, para cada [tex3]y \, \in \mathbb{R}[/tex3] existe pelo menos um [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3] tal que [tex3]g \circ f \left(x\right) \, = \, y[/tex3]. Vamos supor que [tex3]f\left(x\right) \, = \, z[/tex3], devemos ter [tex3]Im_{f} \, \subset \, D_{g}[/tex3] (condição de existência de uma composta). Uma vez que [tex3]Im_{g \circ f} \, = \, \mathbb{R}[/tex3] , devemos ter que para todo [tex3]y \, \in \, \mathbb{R}[/tex3], deve existir pelo menos um [tex3]z \, \in \, Im_{f}[/tex3] tal que [tex3]g\left(z\right) \, = \, y[/tex3]. Uma vez que o contradominio de [tex3]g[/tex3] é [tex3]\mathbb{R}[/tex3], [tex3]g[/tex3] é sobrejetora.

Um abraço!