Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP - 2013) Área

[Dandarah]

O segmento [tex3]AB[/tex3] é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles [tex3]ABC[/tex3], conforme a figura abaixo.

Sem título.jpg (6.6 KiB) Exibido 7703 vezes

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S([tex3]\varphi[/tex3]) e T([tex3]\varphi[/tex3]), podemos afirmar que a razão [tex3]\frac{S(\varphi)}{T(\varphi)}[/tex3], quando [tex3]\varphi=\frac{\pi }{2}[/tex3] radianos, é

a) [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]
b) 2 [tex3]\pi[/tex3]
c) [tex3]\pi[/tex3]
d) [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]

Gabarito

---

A

Como faço? Obrigada!

[emanuel9393MOD]

Olá, Dandarah!

Vamos supor que [tex3]\overline{AB} \, = \, d[/tex3]. Determinemos inicialmente [tex3]S(\varphi)[/tex3]:

[tex3]S\left(\varphi\right) \, = \, \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{S\left(\varphi\right) \, = \, \frac{\pi \cdot d^{2}}{8}} \,\,\, (I)[/tex3]

Antes de determinarmos a área do triângulo, vamos expressar cada lado congruente [tex3]l[/tex3] do triângulo em função de [tex3]d[/tex3]:

[tex3]d^{2} \, = \, l^{2} \, + \, l^{2} \, - \, 2l^{2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, l \, = \, d \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Calculando a altura do triângulo, encontramos:

[tex3]h^{2} \, = \, \left(d \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} \, - \, \left(\frac{d}{2}\right)^{2}
\,\,\, \Rightarrow \,\,\, h \, = \frac{1}{2} d[/tex3]

Com isso, a área [tex3]T\left(\varphi\right)[/tex3] do triângulo será:

[tex3]T\left(\varphi\right) \, = \, \frac{1}{2} d \cdot \left(\frac{1}{2} d\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \, \boxed{T\left(\varphi\right) \, = \, \frac{1}{4} d^{2}} \,\,\, (II)[/tex3]

Dividindo a expressão [tex3](I)[/tex3] pela [tex3](II)[/tex3], você encontra:

[tex3]\boxed{\boxed{\frac{S\left(\varphi\right)}{T \left(\varphi\right)} \, = \, \frac{\pi}{2}}}[/tex3]
Letra.A


Um abraço!

[Vinisth]

Olá Dandarah,

[tex3]R[/tex3] é o raio do semi-circulo. Agora tracejemos a altura relativa a base do triângulo isósceles, temos dois triângulos ainda isósceles de catetos ainda [tex3]R[/tex3]. Então a altura do triângulo [tex3]\Delta CAB[/tex3] é [tex3]R[/tex3]
Sabendo disso :

[tex3]\frac{S(\varphi)}{T(\varphi)}=\frac{\frac{\pi\cdot \cancel{R^2}}{\cancel{2}}}{\frac{2\cancel{R}\cancel{R}}{\cancel{2}}}=\boxed{\frac{\pi}{2}}[/tex3]

Abraço.

[VALDECIRTOZZI]

Se [tex3]\varphi=\frac{\pi }{2}[/tex3], então o [tex3]\Delta ABC[/tex3] é retângulo em C.
Chamando de [tex3]\ell[/tex3] os lados congruente do triângulo retângulo isósceles [tex3]\Delta ABC[/tex3], a área da região triangular será dada por:[tex3]T(\varphi)=\frac{\ell \ \cdot \ell}{2}=\frac{\ell^2}{2}[/tex3] .
Ainda no [tex3]\Delta ABC[/tex3]: [tex3]\cos 45^o=\frac{\frac{\overline{AB}}{2}}{\ell^2}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\overline{AB}}{2\ell}[/tex3]
[tex3]\overline{AB}=\ell\sqrt2[/tex3]

A área do semi-círculo sera dada por:[tex3]S(\varphi)=\frac{\frac{\pi \ \cdot \overline{(AB)^2}}{4}}{2}[/tex3]
[tex3]S(\varphi)=\frac{\pi \ \cdot \overline{(AB)^2}}{8}=\frac{\pi }{8} \ \cdot \left(\ell\sqrt2\right)^2=\frac{\pi \ell^2}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{S(\varphi)}{T(\varphi)}=\frac{\frac{\pi \ell^2}{4}}{\frac{\ell^2}{2}}=\boxed{\boxed{\frac{\pi }{2}}}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[Vinisth]

Uma observação :

Teorema.png (4.93 KiB) Exibido 7691 vezes

Tirado por semelhança de triângulos a altura de um triângulo retângulo é:
[tex3]f^2=d\cdot e[/tex3]
No exercício temos:
[tex3]f^2=R\cdot R[/tex3]
[tex3]\boxed{f=R}[/tex3]

Abraço à todos !

[emanuel9393MOD]

Rapaz!!

A resolução do Vinisth é muito prática! Eu compliquei um bocado. Deixei para observar depois que [tex3]\varphi \, = \, \frac{\pi}{2}[/tex3] .

Grande abraço à todos!

[Dandarah]

Desculpem, mas não entendi como foi calculado a área do triângulo.

[Vinisth]

Triangulo.png (14.43 KiB) Exibido 7681 vezes

Repare que o triângulo [tex3]1[/tex3] é reto é isósceles de catetos [tex3]R[/tex3], assim, partindo desse pressuposto o triângulo ABC tem altura [tex3]R[/tex3]. Agora basta olhar o resto da minha solução logo acima.

Um forte abraço.