Ensino Médio ⇒ Radical Duplo Tópico resolvido

[mahriana]

Determine o radical duplo equivalente a seguinte expressão:

[tex3]M = \frac{\sqrt{a^2+ab}-\sqrt{ab} +a}{\sqrt{a}+\sqrt{a+b}+\sqrt{b}}[/tex3]

[VALDECIRTOZZI]

Não sei se é isso o que você está querendo, mas vamos lá!

[tex3]M = \frac{\sqrt{a^2+ab}-\sqrt{ab} +a}{\sqrt{a}+\sqrt{a+b}+\sqrt{b}}[/tex3]
[tex3]M = \frac{\left(\sqrt{a^2+ab}-\sqrt{ab} +a\right)}{\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+\sqrt{a+b}\right]}\ . \frac{\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{a+b}\right]}{\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{a+b}\right]}[/tex3]
[tex3]M=\frac{\sqrt{(a^2+ab)a}+\sqrt{(a^2+ab)b}-\sqrt{(a^2+ab)(a+b)}-\sqrt{a^2b}-\sqrt{ab^2}+\sqrt{ab(a+b)}+a\sqrt a+a \sqrt b-a\sqrt{a+b}}{\left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2-\left(\sqrt{a+b}\right)^2}[/tex3]
[tex3]M=\frac{\sqrt{a^3+a^2b}+\sqrt{a^2b+ab^2}-\sqrt{a^3+a^2b+a^2b+ab^2}\cancel{-a\sqrt b}-b \sqrt a+\sqrt{a^2b+ab^2}+a\sqrt a+\cancel{a\sqrt b}-a\sqrt{a+b}}{a+2\sqrt{ab}+b-a-b}[/tex3]
[tex3]M=\frac{\sqrt{a^2(a+b)}+\sqrt{ab(a+b)}-\sqrt{a(a^2+2ab+b^2)}-b\sqrt a+\sqrt{ab(a+b)}+a\sqrt a-a\sqrt{a+b}}{2\sqrt{ab}}[/tex3]
[tex3]M=\frac{a\sqrt{a+b}+2\sqrt{ab(a+b)}-\sqrt{a(a+b)^2}-b\sqrt a+a\sqrt a-a\sqrt{a+b}}{2\sqrt{ab}}[/tex3]
[tex3]M=\frac{\cancel{a\sqrt{a+b}}+2\sqrt{ab(a+b)}-(a+b)\sqrt a-b\sqrt a+a\sqrt a-\cancel{a\sqrt{a+b}}}{2\sqrt{ab}}[/tex3]
[tex3]M=\frac{2\sqrt{ab(a+b)}-a\sqrt a-b\sqrt a-b\sqrt a+a\sqrt a}{2\sqrt{ab}}[/tex3]
[tex3]M=\frac{2\sqrt{ab(a+b)}-2b\sqrt a}{2\sqrt{ab}}=\frac{a\sqrt{ab(a+b)}-b\sqrt a}{\sqrt{ab}}[/tex3]
[tex3]M=\frac{\sqrt{ab(a+b)}-b\sqrt a}{\sqrt{ab}} \ . \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a^2b^2(a+b)}-b\sqrt{a^2b}}{ab}[/tex3]
[tex3]M=\frac{ab\sqrt{a+b}+ab\sqrt b}{b}=a\sqrt{a+b}+a\sqrt b[/tex3]
[tex3]M=\sqrt{\left(a\sqrt{a+b}+a\sqrt{b}\right)^2}=\sqrt{a^2(a+b)+2a^2\sqrt{ab+b^2}+a^2b}=\sqrt{a^3+2a^2b+2a^2\sqrt{ab+b^2}}[/tex3]

Não sei se isso o que se pede e é provável que tenha cometido algum erro em alguma passagem, de qualquer forma espero ter ajudado!

[mahriana]

Eu fiz e encontrei [tex3]\sqrt{a+2b - 2\sqrt{b(b+a)}}[/tex3] Mais alguém pra confirmar?

[Vinisth]

[tex3]M=\frac{\sqrt{ab(a+b)}-b\sqrt a}{\sqrt{ab}} \ . \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a^2b^2(a+b)}-b\sqrt{a^2b}}{ab}[/tex3]
[tex3]M=\frac{ab\sqrt{a+b}+ab\sqrt b}{b}=a\sqrt{a+b}+a\sqrt b[/tex3]
[tex3]M=\sqrt{\left(a\sqrt{a+b}+a\sqrt{ b}\right)^2}=\sqrt{a^2(a+b)+2a^2\sqrt{ab+b^2}+a^2b}=\sqrt{a^3+2a^2b+2a^2\sqrt{ab+b^2}}[/tex3]!

Olá a todos,
Teve alguns outros erros de digitação mas as passagens foram certas. O problema está aqui :
[tex3]M=\frac{\sqrt{ab(a+b)}-b\sqrt a}{\sqrt{ab}} \ . \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a^2b^2(a+b)}-b\sqrt{a^2b}}{ab}=\frac{\cancel{ab}\sqrt{(a+b)}-\cancel{ab}\sqrt{b}}{\cancel{ab}}[/tex3]
[tex3]M = \sqrt{a+b}-\sqrt{b}[/tex3]
[tex3]M = \sqrt{(\sqrt{a+b}-\sqrt{b})^2}=\boxed{\sqrt{a+2b-2.\sqrt{(a+b).b}}}[/tex3]

Um abraço à todos !

[mahriana]

Estive tentando procurar uma forma de resolver este problema sem tanto "algebrismo"(se é que é possível ), já reproduzi o exercício algumas vezes, e sempre por causa de alguma passagenzinha desvio da resposta correta
Eu pensei em algo assim:

[tex3]\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/tex3]

Existem alguns fatores comuns no numerador e denominador que eu pensei em cancelar (não sei se é certo fazer isso), mas não sei se partindo disso depois consigo chegar em um radical duplo..

Alguem poderia avaliar se da pra fazer essa questão desse modo ou de um outro modo mais "simples" ?