Pré-Vestibular ⇒ (PUC - 2001) Equações Irracionais Tópico resolvido

[BushJunior]

Resolva a equação:

[tex3]\sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}+ 5\sqrt[3]{\frac{1}{x}}= 6[/tex3]


PS: Poste a resolução comentada.

[theblackmamba]

Faça uma substituição de variável:

[tex3]\sqrt[3]{\frac{1}{x}}=k[/tex3]

[tex3]k^2+5k-6=0[/tex3]
[tex3](k-1)(k+6)=0[/tex3]

[tex3]k=1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{\frac{1}{x}}=1[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x}=1\,\,\Rightarrow\,\,x=1[/tex3]

[tex3]k=-6[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{\frac{1}{x}}=-6[/tex3]. Elevando ao cubo:
[tex3]\frac{1}{x}=-216\,\,\Rightarrow\,\,x=-\frac{1}{216}[/tex3]

Agora o que você tem que fazer é verificar as soluções na equação original. Fazendo isso você encontrará apenas uma solução:

Veja:
Para [tex3]x=-\frac{1}{216}=(-6)^{-3}[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{\frac{1}{(-6)^{-6}}}+5\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{(-6)^{-3}}}=6[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{6^6}+5\cdot \sqrt[3]{(6)^3\cdot (-1)^3}=6[/tex3]
[tex3]6^2+5\cdot \sqrt[3]{-1}=6[/tex3]
[tex3]36+5\sqrt[3]{i^2}=6[/tex3]

Já está errado pois apareceu um número complexo alí no meio.

Fazendo o mesmo para [tex3]x=1[/tex3] você verá que saíra a solução.

[tex3]\boxed{S\,\,:\,\,\left\{1\right\}}[/tex3]

[BushJunior]

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