Estude! Com Prof. Caju

Calcular a medida do raio de uma esfera circunscrita em um icosaedro regular cuja aresta mede [tex3]a[/tex3].

theblackmamba,
Seja [tex3]h[/tex3] a altura do triângulo equilátero que forma a face do icosaedro e que define quatro dos seis lados do hexágono.
Precisamos determinar a diagonal m do hexágono não regular porque esta equivale ao diâmetro da esfera circunscrita.
Como o hexágono é não regular e não possuímos informações acerca dos ângulos,
precisamos seccionar o icosaedro regular por outro plano, tal que a intersecção do icosaedro regular com esse plano é um pentágono regular, cuja diagonal d está contida no plano anterior. Como sabemos, a diagonal de um pentágono regular de lado [tex3]a[/tex3] mede [tex3]\frac{\sqrt5+1}{2}a[/tex3], assim, por Pitágoras,
[tex3]{m^2=d^2+a^2\to}\\
{m^2=\(\frac{\sqrt5+1}{2}a\)^2+a^2\therefore m=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}a}\tag*{}[/tex3] (seção passando pelo centro e por dois pares de vértices
opostos)

Professor, como garantir que o triângulo de lados $d$, $m$ e $a$ é retângulo?

outra forma:

sabemos que de cada vértice do icosaedro partem [tex3]5[/tex3] faces de triângulos equiláteros, formando assim uma pirâmide de base pentagonal bem simétrica.

O lado do pentágono regular é [tex3]a[/tex3], logo, o raio do círculo circunscrito a esse pentágono é dado por:

[tex3]r \sen (36^{\circ}) = \frac a2 \implies r = \frac{a \sqrt{5+\sqrt 5}}{\sqrt{10}}[/tex3]

A altura dessa pirâmide de base pentagonal é [tex3]h[/tex3]:

[tex3]a^2 = h^2 + r^2 \iff h^2 = a^2 (1 - \frac{5+\sqrt5}{10}) = \frac{a^2}{10}(5-\sqrt5) \implies h = a \sqrt{\frac{5-\sqrt5}{10}}[/tex3]

basta um último Pitágoras. Sejam [tex3]O[/tex3] o centro da esfera, [tex3]o[/tex3] o centro do pentágono regular e [tex3]V[/tex3] um vértice qualquer do pentágono, no [tex3]\triangle OoV[/tex3]:

[tex3]R^2 = r^2 + (R-h)^2 \iff 2Rh = r^2 + h^2[/tex3]

[tex3]2Ra \sqrt{\frac{5-\sqrt5}{10}} = a^2 \implies R = a \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5-\sqrt5}} = \frac a2 \sqrt{\frac{5+\sqrt5}2}[/tex3]

EDIT: eu calculei o raio diretamente, o tassandro calculou o diâmetro.