IME / ITA ⇒ (EN - 1986) Geometria Espacial: Cones e Esfera Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Sejam A e B pontos diametralmente opostos em uma esfera de raio R. O volume comum aos cones de revolução inscritos na esfera, com vértices em A e em B e cujas alturas são iguais a 3R/2 é
a) [tex3]\pi R^3/9\hspace{40pt}[/tex3] b) [tex3]7\pi R^3/36\hspace{40pt}[/tex3] c) [tex3]\pi R^3/12\hspace{40pt}[/tex3] d) [tex3]2\pi R^3/9\hspace{40pt}[/tex3] e) [tex3]\pi R^3/12[/tex3]





[tex3]\,[/tex3]

[fabit]

Achei letra B: [tex3]\frac{7\pi R^3}{36}[/tex3].

Cortando a esfera com um plano que passa pelos vértices dos cones (e conseqüentemente pelo centro), as geratrizes dos cones contidas nesse plano formam uma perfeita "Estrela de David", porque a altura 3R/2 é exatamente o que precisa para a secção de cada cone ficar um triângulo equilátero. Há um hexágono regular no meio da Estrela de David (bem como nos tabuleiros de Xadrez Chinês) e o volume procurado na questão é gerado pela revolução desse hexágono em torno da reta que une os vértices dos cones.

Ocorre que o apótema desse hexágono, cuo lado chamo de x, é R/2, e daí

[tex3]\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{R}{2}\Rightarrow x=\frac{R}{\sqrt{3}}[/tex3]

Calcularei o volume como o dobro do volume do tronco de cone gerado por cada "semi-hexágono" (trapézio de bases x e 2x e altura R/2). Para não esquecer de dobrar no final, chamarei de V/2:

[tex3]\frac{V}{2}=\frac{1}{3}\pi\(\frac{R}{\sqrt{3}}\)^2R-\frac{1}{3}\pi\(\frac{R}{2\sqrt{3}}\)^2\frac{R}{2}=\frac{\pi}{3}\[\frac{R^3}{3}-\frac{R^3}{24}\]=\frac{\pi R^3}{3}\times\frac{8-1}{24}[/tex3]

[tex3]\frac{V}{2}=\frac{7\pi R^3}{3\times24}\Rightarrow V=\frac{7\pi R^3}{3\times12}[/tex3]

[tex3]V=\frac{7\pi R^3}{36}[/tex3]

Abraço