Olimpíadas ⇒ (IIT- JEE - 2010) Equações Tópico resolvido

[felipebarreto]

Se [tex3](x_o,y_0)[/tex3] é solução da equação:

[tex3](2.x)^{ln2}=(3.y)^{ln3}\\3^{lnx}=2^{lny}[/tex3] entao o valor de [tex3]x_0[/tex3] é :

[tex3]a)1/6\\
b)1/3\\
c)1/2\\
d)6[/tex3]

Resposta

---

gabarito: c

[tiagomiranda]

[tex3](2\cdot x)^{\ln 2}=(3\cdot y)^{\ln 3}[/tex3] Equação (1)
[tex3]3^{\ln x }=2^{lny}[/tex3] Equação (2)

Equação (2)
[tex3]3^{\ln x }=2^{lny}[/tex3] Aplicando "ln" nos dois membros temos:
[tex3]{\ln 3}^{\ln x }={\ln 2}^{lny}[/tex3]
[tex3]{\ln x }\cdot{\ln 3}={lny}\cdot{\ln 2}[/tex3] Isolando [tex3]{lny}[/tex3]
[tex3]{lny}=\frac{{\ln x }\cdot{\ln 3}}{{\ln 2}}[/tex3]

Equação (1)
[tex3](2\cdot x)^{\ln 2}=(3\cdot y)^{\ln 3}[/tex3] Aplicando "ln" nos dois membros temos:
[tex3]{\ln (2\cdot x)}^{\ln 2}={\ln (3\cdot y)}^{\ln 3}[/tex3]
[tex3]{\ln 2}\cdot{\ln (2\cdot x)}={\ln 3}\cdot{\ln (3\cdot y)}[/tex3]
[tex3](\ln 2\cdot(\ln 2+\ln x )=\ln 3\cdot(\ln 3+\ln y)[/tex3] substituindo o "valor" de [tex3]{lny}[/tex3] e arrumando, temos:
[tex3](\ln^2{2}-\ln^2{3}=({\ln^2{3}}-{\ln^2{2}})\cdot\(\frac{\ln x }{\ln 2}\)[/tex3]
[tex3]{-\ln {2}}={\ln x }[/tex3]
[tex3]x=\frac{1}{2}[/tex3] Letra C