Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica Infinita e Geometria Plana Tópico resolvido

[olgario]

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Na figura está representado um triângulo[ABC], equilátero, de área 1.
Unindo os pontos médios dos lados obtém-se outro triângulo equilátero e repetindo o processo obtém-se uma sequência.

a) Escreva a sucessão das áreas dos triângulos a partir da área do triângulo ABC.

b) A sucessão obtida é limitada? justifique.

atenciosamente
olgario

[Diego996]

Olá Olgario, vamos a solução.

A área do triângulo é, conforme dado do exercício, 1.
a) Assim, unindo-se os pontos médios, obtém-se quatro triângulos iguais entre si, e semelhantes ao primeiro. Logo, a área de cada um dos novos triângulos é [tex3]\frac{1}{4}[/tex3].
Procedendo de modo análogo, os próximos triângulos terão área igual a [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] da anterior, ou seja: [tex3]\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{{16}}[/tex3].

E assim sucessivamente, temos a progressão geométrica:
[tex3]\left( {1,\frac{1}{4},\frac{1}{{16}},\frac{1}{{64}},\frac{1}{{256}},...} \right)[/tex3]

b) A sucessão é ilimitada, uma vez que existem infinitos triângulos que podem ser obtidos. Entretanto, cada vez mais essa sucessão de áreas tende a zero.

[olgario]

Olá Diego 996 .Me faltou a perspicácia para ver o evidente.Que ao se desenhar o triângulo verde sobre o cinzento este fica dividido em 4 triângulos iguais.Obrigado pela dica, até uma próxima.

olgario