Pré-Vestibular ⇒ (Emescam) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[carloscacs]

mao.jpg (24.76 KiB) Exibido 363 vezes

Na figura a seguir são analisadas 19 áreas, as quais correspondem aos ossos das falanges e metacarpos.
Num cálculo aproximado, verificou-se que as áreas de cada dedo ([tex3]A_{1}^{}[/tex3], [tex3]A_{2}^{}[/tex3], [tex3]A_{3}^{}[/tex3]), ([tex3]A_{4}^{}[/tex3], [tex3]A_{5}^{}[/tex3], [tex3]A_{6}^{}[/tex3], [tex3]A_{7}^{}[/tex3]), ([tex3]A_{8}^{}[/tex3], [tex3]A_{9}^{}[/tex3], [tex3]A_{10}^{}[/tex3], [tex3]A_{11}^{}[/tex3]), ([tex3]A_{12}^{}[/tex3], [tex3]A_{13}^{}[/tex3], [tex3]A_{14}^{}[/tex3], [tex3]A_{15}^{}[/tex3]), ([tex3]A_{16}^{}[/tex3], [tex3]A_{17}^{}[/tex3], [tex3]A_{18}^{}[/tex3], [tex3]A_{19}^{}[/tex3]) apresentavam-se como cinco progressões geométricas diferentes com a mesma razão [tex3]\frac{1}{q}[/tex3], sendo [tex3]q\gt 1[/tex3].

Considere os seguintes dados referentes aos primeiros termos de tais
progressões:[tex3]A_{1}=1u[/tex3], [tex3]A_{4}^{} = \frac{9}{5} u[/tex3], [tex3]A_{8} = \frac{7}{5} u[/tex3], [tex3]A_{12}=\frac{6}{5}[/tex3], [tex3]A_{16}=\frac{8}{5}[/tex3]. sendo [tex3]u[/tex3] uma unidade de medida apropriada. Qual a expressao que expressa corretamente a soma de todas as dezenove áreas?

A) [tex3]\frac{u(6+q^2-7q^4)}{q^3(1-q)}[/tex3]

B) [tex3]\frac{u(6+q-7q^4)}{q^3(1-q)}[/tex3]

C) [tex3]\frac{u(6+q-7q^4)}{q(1-q)}[/tex3]

D) [tex3]\frac{u(6+q+7q^4)}{q^3(1-q)}[/tex3]

E) [tex3]\frac{u(6+q-7q^4)}{q^3(1-q)}[/tex3]

Fonte: http://www.emescam.br/processoseletivo/ ... 01/P1A.pdf Questão 26

[poti]

Eu demorei a entender o enunciado. Perceba que todas possuem a MESMA RAZÃO para SEUS termos, e não que elas formam uma progressão única entre cada dedo. Esta tinha sido minha primeira interpretação. Então, vamos lá:

Fórmula da Soma de PG: [tex3]\frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}[/tex3], onde [tex3]a_1[/tex3] é o primeiro termo, [tex3]n[/tex3] é o número de termos e [tex3]r[/tex3] é a razão.

Primeiro Dedo:

[tex3]A_{I} = A_1 + A_2 + A_3 = 1u + \frac{1}{q}u + \frac{1}{q^2}u = \frac{u(\frac{1}{q^3} - 1)}{\frac{1}{q} - 1} = \frac{u(1 - q^3)}{q^2(1-q)}[/tex3]

Segundo dedo:

[tex3]A_{II} = A_4 + ... + A_7 = \frac{9}{5}u + ... + \frac{9}{5q^3}u = \frac{\frac{9}{5}u(\frac{1}{q^4} - 1)}{\frac{1}{q} - 1} = \frac{9u(1 - q^4)}{5q^3(1-q)}[/tex3]

Perceba a lógica e evite contas. Vou apenas deixar os valores diretos agora:

[tex3]A_{III} = \frac{7u(1 - q^4)}{5q^3(1-q)}[/tex3]

[tex3]A_{IV} = \frac{6u(1 - q^4)}{5q^3(1-q)}[/tex3]

[tex3]A_{V} = \frac{8u(1 - q^4)}{5q^3(1-q)}[/tex3]

Somando:

[tex3]S = A_{I} + A_{II} + A_{III} + A_{IV} + A_{V} = \frac{u(1 - q^3)}{q^2(1-q)} + \frac{30u(1 - q^4)}{5q^3(1-q)} = \\ \\ \frac{u(1 - q^3)}{q^2(1-q)} + \frac{6u(1 - q^4)}{q^3(1-q)} = \frac{uq(1 - q^3)}{q^3(1-q)} + \frac{6u(1 - q^4)}{q^3(1-q)} = \frac{uq(1 - q^3) + 6u(1 - q^4)}{q^3(1-q)} = \\ \\ \frac{uq(1 - q^3) + 6u(1 - q^4)}{q^3(1-q)} = \frac{uq - uq^4 + 6u - 6uq^4}{q^3(1-q)} = \frac{uq + 6u - 7uq^4}{q^3(1-q)} = \\ \\ \boxed{\frac{u(q + 6 - 7q^4)}{q^3(1-q)}}[/tex3]

Questão totalmente irrelevante, na minha opinião. Se precisar de explicação sobre alguma passagem, pergunte. Sei que parece meio confuso, mas é que essa sopa de letras não ajuda.

Abraço!