Ensino Médio ⇒ Trigonometria - Raio da Terra (demonstração)

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É possível provar que, tomando círculos centrados em [tex3]O[/tex3], os arcos determinadosnestes círculos por duas semi-retas [tex3]OA[/tex3] e [tex3]OB[/tex3], são proporcionais aos seus raios, isto é, [tex3]\frac{S_1}{OA_1} = \frac{S_2}{OA_2} = \frac{S_3}{OA_3} = ...[/tex3].

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esse fato se relaciona com a medida do raio da Terra feita pelo grego Eratóstenes, 200 anos antes de Cristo. Examinando os resultados das observações astronômicas acumuladas durante séculos na biblioteca de Alexandria, Eratóstenes soube que em Siena, cidade situada a 5 mil estádios (medida grega de comprimento, equivalente a 41,25 m) ao sul de Alexandria, o sol se refletia no fundo de um poço ao meio-dia de certo dia de cada ano. Num dado ano, ao meio-dia desse tal dia, Eratóstenes mediu o ângulo que um raio solar fazia com a vertical de Alexandria, achando aproximadamente 7º.

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Mostre que esse processo fornece para o raio da Terra o valo aproximado de [tex3]\frac{250000}{2\pi }[/tex3] estádios.