Ensino Superior ⇒ Matemática Discreta Tópico resolvido

[alexfiinho]

1. O carro de Katia não pegava e ela chamou um mecânico para conserta-lo. Apos examinar o
carro, ele disse para ela:
o carro não pega, pois: a junta do cabecote esta vazando e ha agua no cilindro
Como ela não achou que o mecânico fez um exame cuidadoso, ela decidiu chamar um outro
mecânico que, apos examinar o carro, disse para ela:
quando ha agua no cilindro, o carro não pega; se a junta do cabecote esta vazando
De posse destas duas informacões, ela comecou a se perguntar: sera que eles disseram a
mesma coisa?
Reescreva os enunciados usando conectivos logicos e determine se os mecânicos disseram a
mesma coisa ou não.

2. Depois de pensar no que os mecânicos disseram, Katia resolveu chamar um deles para consertar
o carro. Mas, infelizmente, nenhum dos dois estava mais disponvel. Assim, ela resolveu
chamar um terceiro mecânico, que deu uma primeira olhada no carro e disse para ela a
negacão do que o primeiro mecânico disse. Apos uma outra examinada, ele tambem negou
o que o segundo mecânico tinha dito.
O que este terceiro mecânico disse para Katia ?

(a) na primeira fala?
(b) na segunda fala?
(c) Ele foi repetitivo?

3. Como apos varias tentativas de ligar o carro, o carro não pegou, Katia se convenceu que este
terceiro mecânico não era um prossional qualicado. Assim, resolveu chamar o socorro e
rebocar o carro para uma ocina autorizada. Chegando la, um mec^anico examinou o carro
e disse para Katia:

E1 : o carro não pega, pois o defeito e na rosqueta da partida
E2 : o carro pega, quando o defeito e na rebimboca da parafuseta
E3 : o defeito e na rosqueta da partida
E4 : o defeito n~ao e na rebimboca da parafuseta ou eu não entendo de carros

(a) Baseada nos enunciados E1 e E2, Katia concluiu que:
como o defeito e na rosqueta de partida, ele não e na rebimboca da parafuseta
Reescreva os dois primeiros enunciados e a conclusão de Katia usando conectivos logicos
e determine se a conclusão de Katia esta correta ou não.

(b) Tomando os enunciados E1, E2, E3 e E4 como premissas, Katia concluiu que o mec^anico
da ocina autorizada entende de carros e, nalmente, deixou o carro la para ser consertado.
Determine se a conclusão de Katia esta correta ou não.

Alguém pode me ajudar com essa questão?

desde já sou grato.

[alexfiinho]

Obrigado pessoal, consegui resolver .

[theblackmamba]

Ótimo!
Poderia disponibilizar a solução para todos do fórum ver ?

Abraço.

[alexfiinho]

O carro de Katia n~ao pegava e ela chamou um mec^anico para conserta-lo. Apos examinar o
carro, ele disse para ela:
o carro n~ao pega, pois: a junta do cabecote esta vazando e ha agua no cilindro
Como ela n~ao achou que o mec^anico fez um exame cuidadoso, ela decidiu chamar um outro
mec^anico que, apos examinar o carro, disse para ela:
quando ha agua no cilindro, o carro n~ao pega; se a junta do cabecote esta vazando
De posse destas duas informac~oes, ela comecou a se perguntar: sera que eles disseram a
mesma coisa?
Reescreva os enunciados usando conectivos logicos e determine se os mec^anicos disseram a
mesma coisa ou n~ao.
Resoluc~ao da Quest~ao 1:
(a) Os enunciados podem ser reescritos como:
se (a junta do cabecote esta vazando e ha agua no cilindro), ent~ao o carro n~ao pega
se a junta do cabecote esta vazando, ent~ao (se ha agua no cilindro, ent~ao o carro n~ao pega)
(b) Considerando a legenda:
v : a junta do cabecote esta vazando
a : ha agua no cilindro
p : o carro pega
os enunciados podem ser simbolizado por:
(v ^ a) ! (:p)
v ! (a ! (:p))
(c) O problema se resume em determinar se os enunciados s~ao ou n~ao equivalentes.
Construindo a tabela do enunciado ' : ((v ^ a) ! (:p)) $ (v ! (a ! (:p))), temos:
v a p v ^ a :p (v ^ a) ! (:p) a ! (:p) v ! (a ! (:p)) '
V V V V F F F F V
V V F V V V V V V
V F V F F V V V V
V F F F V V V V V
F V V F F V F V V
F V F F V V V V V
F F V F F V V V V
F F F F V V V V V
Como ' e uma tautologia, os enunciados s~ao equivalentes e os mec^anicos disseram a mesma
coisa.
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2. Depois de pensar no que os mec^anicos disseram, Katia resolveu chamar um deles para consertar
o carro. Mas, infelizmente, nenhum dos dois estava mais disponvel. Assim, ela resolveu
chamar um terceiro mec^anico, que deu uma primeira olhada no carro e disse para ela a
negac~ao do que o primeiro mec^anico disse. Apos uma outra examinada, ele tambem negou
o que o segundo mec^anico tinha dito.
O que este terceiro mec^anico disse para Katia (a) na primeira fala? (b) na segunda fala?
(c) Ele foi repetitivo?
Resoluc~ao da Quest~ao 2:
(a) Aplicando equival^encias para obter a negac~ao do primeiro enunciado, temos:
(v ^ a) ! (:p))
e equivalente a
(v ^ a) ^ (:(:p))
e equivalente a
(v ^ a) ^ p
que e o enunciado
(a junta do cabecote esta vazando e ha agua no cilindro) e o carro pega
ou seja,
a junta do cabecote esta vazando e ha agua no cilindro, e o carro pega
(b) Aplicando equival^encias para obter a negac~ao do segundo enunciado, temos:
:(v ! (a ! (:p))
e equivalente a
v ^ :(a ! (:p))
e equivalente a
v ^ (a ^ (:(:p)))
e equivalente a
v ^ (a ^ p)
que e o enunciado
a junta do cabecote esta vazando e (ha agua no cilindro e o carro pega)
ou seja,
a junta do cabecote esta vazando e: ha agua no cilindro e o carro pega
(c) Resta apenas observar que estes dois enunciados s~ao equivalentes e que, portanto, o
terceiro mec^anico foi repetitivo.
A justicativa mais simples para esta armac~ao talvez seja:
Pela associatividade do ^, os dois enunciados s~ao equivalentes.
Mas, talvez, aqui o aluno faca uma tabela para vericar a equival^encia.
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3. Como apos varias tentativas de ligar o carro, o carro n~ao pegou, Katia se convenceu que este
terceiro mec^anico n~ao era um prossional qualicado. Assim, resolveu chamar o socorro e
rebocar o carro para uma ocina autorizada. Chegando la, um mec^anico examinou o carro
e disse para Katia:
E1 : o carro n~ao pega, pois o defeito e na rosqueta da partida
E2 : o carro pega, quando o defeito e na rebimboca da parafuseta
E3 : o defeito e na rosqueta da partida
E4 : o defeito n~ao e na rebimboca da parafuseta ou eu n~ao entendo de carros
(a) Baseada nos enunciados E1 e E2, Katia concluiu que:
como o defeito e na rosqueta de partida, ele n~ao e na rebimboca da parafuseta
Reescreva os dois primeiros enunciados e a conclus~ao de Katia usando conectivos logicos
e determine se a conclus~ao de Katia esta correta ou n~ao.
(b) Tomando os enunciados E1, E2, E3 e E4 como premissas, Katia concluiu que o mec^anico
da ocina autorizada entende de carros e, nalmente, deixou o carro la para ser consertado.
Determine se a conclus~ao de Katia esta correta ou n~ao.
Resoluc~ao da Quest~ao 3:
Os enunciados E1 e E2 e a conclus~ao podem ser reescritos como:
se o defeito e na rosqueta da partida, ent~ao o n~ao carro pega
se o defeito e na rebimboca da parafuseta, ent~ao o carro pega
se o defeito e na rosqueta de partida, ent~ao ele n~ao e na rebimboca da parafuseta
Considere a seguinte legenda:
p : o defeito e na rosqueta da partida
q : o carro pega
r : o defeito e na rebimboca da parafuseta
s : o mec^anico entende de carros
De acordo com esta legenda, os enunciados ditos pelo mec^anico podem ser simbolizados por:
E1 : p ! (:q)
E2 : r ! q
E3 : p
E4 : (:r) _ (:s)
(a) De acordo com a legenda, a conclus~ao de Katia pode ser simbolizada por:
p ! (:r)
Agora, o problema se resume em vericar a validade do argumento:
E1 : p ! (:q)
E2 : r ! q
p ! (:r)
Ou seja, vericar se o enunciado
' : ((p ! (:q)) ^ (r ! q)) ! (p ! (:r))
e uma tautologia.
3
Construindo a tabela verdade de ', temos:
p q r :q :r
'1 z }| {
p ! (:q)
'2 z }| {
r ! q '1 ^ '2 p ! (:r) '
V V V F F F V F F V
V V F F V F V F V V
V F V V F V F F F V
V F F V V V V V V V
F V V F F V V V V V
F V F F V V V V V V
F F V V F V F F V V
F F F V V V V V V V
Como ' e V em todas as interpretac~oes, ' e tautologia e o argumento e valido. Assim, a
conclus~ao de Katia esta correta.
(b) O problema se resume em vericar a validade do argumento:
E1 : p ! (:q)
E2 : r ! q
E3 : p
E4 : (:r) _ (:s)
s
Ou seja, vericar se o enunciado
' : ((p ! (:q)) ^ (r ! q) ^ p ^ ((:r) _ (:s))) ! s
e uma tautologia. Para isto, voc^e pode construir uma tabela com 24 = 16 linhas e umas 13
colunas.
Mas e facil ver, mesmo sem uma tabela, que o enunciado n~ao e uma tautologia! Para isto,
basta pensar um pouco e considerar que p e V e que q; r; s s~ao F; F; F. De fato, com isto,
temos:
p ! (:q) e V ! (:F), que e V ! V , que e V ;
r ! q e F ! F, que e V ;
p e V ;
(:r) _ (:s) e (:F) _ (:F), que e V _ V , que e V ;
e, nalmente, s e F.
Como existe uma interpretac~ao na qual as premissas s~ao simultaneamente V e a conclus~ao