Ensino Superior ⇒ Integral Trigonométrica Tópico resolvido

[klueger]

Alguém sabe como resolver esta? Não lembro muito deste assunto...

[tex3]\int\ x.sec^3(2x^2+1).dx[/tex3]

[Vinisth]

Olá klueger,

Por partes :
[tex3]\small \int\ x.sec^3(2x^2+1).dx=\frac{x^2}{2}\cdot\sec(2x^2+1)-\int\frac{x^2}{2}.12\tan(2x^2+1)\cdot sec^3(2x^2+1).dx[/tex3]
Aqui não tem como resolver mais. Esta integral não é elementar.

Abraço

[Radius]

Fiz a seguinte substituição:

[tex3]z=2x^2+1 \,\,\, \implies \,\,\, dz=4x.dx[/tex3]

e a integral fica:

[tex3]\int\ x.sec^3(z).\frac{dz}{4x}=\frac{1}{4}\int \frac{dz}{\cos^3 z}[/tex3]

mas empaquei aqui.

[Kaiten]

Olá!

[tex3]\int\limits_{}^{}x\cdot \sec ^3(2x^2 + 1)dx[/tex3]

i) Por substituição:

[tex3]s = 2x^2 + 1[/tex3]
[tex3]\frac{s}{4} = dx[/tex3]

Fica:

[tex3]\frac{1}{4}\int\sec^3(s)ds[/tex3]

ii) [tex3]\int\sec(s)\cdot \sec ^2(s)ds[/tex3]

ii.i) Por partes:

[tex3]u = \sec (s)~ >~ du = \sec (s)\cdot \tan (s)[/tex3]
[tex3]dv = \sec ^2(s)~>~v = \tan (s) + C[/tex3]

[tex3]\int\sec(s)\cdot \sec ^2(s)ds = u\cdot v - \int\ v\cdot du[/tex3]
= [tex3]\sec (s)\cdot \tan (s) - \int\tan^2(s)\sec (s)ds[/tex3]

Mas, [tex3]\tan ^2(s) = \sec ^2(s) - 1[/tex3]

Logo, [tex3]\int\sec(s)\cdot \sec^2(s)ds = \sec (s)\cdot \tan (s) - \int\((\sec ^2(s) - 1\)\cdot \sec (s)ds[/tex3]
[tex3]\int\sec(s)\cdot \sec ^2(s)ds = \sec (s)\cdot \tan (s) + \int\sec (s)ds - \int\sec^3(s)ds[/tex3]
[tex3]2\int\sec(s)\cdot \sec ^2(s)ds = \sec (s)\cdot \tan (s) + \int\sec (s)ds[/tex3]
[tex3]\int\sec(s)\cdot \sec ^2(s)ds = \frac{\sec (s)\cdot \tan (s) + \ln |\sec (s) + \tan (s)|}{2}[/tex3]

Mas,

[tex3]s = 2x^2 + 1[/tex3]

Logo,

[tex3]\int\sec^3(2x^2+1)\cdot xdx = \frac{1}{4}[\frac{\sec (2x^2+1)\cdot \tan (2x^2+1) + \ln |\sec (2x^2+1) + \tan (2x^2+1)|}{2}] +C[/tex3]

Me corrijam se eu estiver errado...
Espero ter ajudado.
Até.