Ensino Fundamental ⇒ Circuferência Tópico resolvido

[Francis]

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1. Considere um círculo C'0 inscrito a ABC e, em seguida, construa um círculo C1 tangente a C'0, AB e BC e outro círculo C’1 também tangente a C'0, BC e AC. Continue construindo infinitos círculos C'n tangentes a C'n–1, AB e BC. Faça omesmo para os círculos C’n também tangentes a C’n–1, BC e AC. A seguir, a figura representa um exemplo com cinco círculos



A soma dos comprimentos de todos os infinitos círculos é:

[Birnebaum]

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Francis , vou dá uma SUGESTÃO , caso você queira se aventurar nos cálculos.
Veja que a soma dos perímetros é uma PG ilimitada.
a1= R
a2=r
q=a2/a1

Veja que encontramos os valores de a1=V3/6 , a2=V3/18(veja em vermelho na fig) e q
faça as contas . Com os valores dos raios calcula-se os perímetros dos círculos.
Depois aplique a fórmula da PG ilimitada . Acho que é um caminho.

Bb

[Francis]

Pois é. Eu não gostaria de utilizar uma PG infinita pois não cabe no nível de formação que exigiu a prova - sou do ensino fundamental - mas já li outra tese a respeito da solução desse problema. De qualquer forma, achei interessante essa proposta.

Pelo menos esta questão eu vi em uma prova de uma Insttuição, e não 'encarei' a mesma em uma seleção rsrs'

[emanuel9393MOD]

Olá, Pessoal!
Acredito que não precisa utilizar progressões

Olhando para a figura postada pelo Francis, vamos chamar de [tex3]d_{0} \, , \, d_{1} \, , \, d_{2} \, , ... \, , d_{n}[/tex3] os diâmetros das circunferências [tex3]C_{0} \, , \, C_{1} \, , \, C_{2} \, , ... \, , C_{n}[/tex3] (também utilizarei a notação [tex3]C_n[/tex3] para indicar o comprimento da circunferência [tex3]C_n[/tex3]). Basta perceber que a soma dos diâmetro de uma das sequência infinitas de circunferências corresponde a à altura do triângulo. Logo:
[tex3]d_0 \, + \, d_1 \, + \, d_2 \, + \, \cdots \, = \, \frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\, \Rightarrow \,\,\, 2r_0 \, + \, 2r_1 \, + \cdots \, = \, \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Multiplicando ambos os membros por [tex3]\pi[/tex3], resulta:
[tex3]C_0 \, + \, C_1 \, + \, C_2 \, \cdots \, = \, \frac{\pi \sqrt{3}}{2} \,\,\, (I)[/tex3]
Da mesma forma, podemos ver que:
[tex3]C_0 \, + \, C_1' \, + \, C_2' \, + \, \cdots \, = \, \frac{\pi \sqrt{3}}{2}\,\,\,\, (II)[/tex3]
Somando [tex3](I)[/tex3] com [tex3](II)[/tex3]:
[tex3]2C_0 \, + \, C_1 \, + \, C_2 \, + \, C_1' \, + \, C_2 ' \cdots \, = \, \pi\sqrt{3}[/tex3]
Uma vez que [tex3]C_0 \, = \, \frac{\pi\sqrt{3}}{3}[/tex3], tem -se:
[tex3]C_0 \, + \, C_1 \, + \, C_2 \, + \, C_1' \, + \, C_2 ' \cdots \, = \, \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Grande abraço!

[Francis]

Sim. Foi dessa forma que eu já tinha visto uma resolução, mas dessa vez foi mais bem explicado. Somente uma dúvida: como você concluiu que o valor de [tex3]C_{0}[/tex3] é [tex3]\frac{\pi \sqrt{3}}{3}[/tex3]?

Obrigado Emanuel.

[emanuel9393MOD]

Olá, Francis!

Apenas calculei o raio de [tex3]C_0[/tex3] cujo valor é [tex3]\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3] (esse cálculo é bem simples, basta ver a figura do nosso amigo Birnebaum) e coloquei na equação da área.

Grande abraço!

[Francis]

Ah, sim. Entendi o raciocínio.

Obrigado aos dois. Sempre me ajudando.

[Birnebaum]

Valeu Emanuel . Bem que desconfiei quando fiz 2r+r+R= AE=BE . Portanto a sequencia é finita . Mas como no enunciado fala em "infinitas" , apelei para a resol clássica por PG . Ótima sua resolução.grato

Bb

[Cássio]

Só me intrometendo aqui, o fato da soma dar finita não quer dizer que existe uma quantidade finita de circunferências. Elas são em quantidade infinita e mesmo assim a soma dá isso aí que o Emanuel achou.