Pré-Vestibular ⇒ (VUNESP) Trigonometria Tópico resolvido

[caiopfs]

Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede [tex3]120^o[/tex3]. Se os outros dois [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3], são tais que [tex3]\frac{cos x}{cos y} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}[/tex3], a diferença entre as medidas de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é:

a) [tex3]5^o[/tex3]
b) [tex3]15^o[/tex3]
c) [tex3]20^o[/tex3]
d) [tex3]25^o[/tex3]
e) [tex3]30^o[/tex3]

Resposta

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Resposta: E

[Juniorsjc]

Olá amigo, perceba que se um dos ângulos do triângulo é [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3], então:
[tex3]x+ y = \frac{\pi }{3} = 60^o[/tex3]

Passado o y pro outro lado, temos:
[tex3]x = \frac{\pi }{3} - y[/tex3]
Podemos então dizer:
[tex3]\cos x = \cos\left(\frac{\pi }{3} - y\right) \rightarrow \ \cos x= cos\left(\frac{\pi }{3}\right)\cdot\cos y + \sin y\cdot\sin\left(\frac{\pi }{3}\right)[/tex3]

Ficamos com:
[tex3]\cos x= \frac{{1}}{2}\cdot\cos y + \sin y\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Do enunciado:

[tex3]\cos x = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\cdot \cos y[/tex3]

Igualando:
[tex3]\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\cdot \cos y = \frac{1}{2}\cdot\cos y + \sin y\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Chegamos a:

[tex3]\cos y = \sin y \rightarrow y = \frac{\pi }{4} = 45^o[/tex3]

Assim, temos:

[tex3]x = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} \rightarrow x = \frac{\pi }{12} =15^o[/tex3]

Portanto:

[tex3]|x - y| = 30^o[/tex3]