Ensino Superior ⇒ Série de Maclaurin Tópico resolvido

[mauriciosteh]

Encontre os três primeiros termos na série de Maclaurin para:
a) [tex3]\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}[/tex3]

b) [tex3]xe^{-x}[/tex3]

Faça um gráfico das funções e das expansões obtidas para visualizar até que valor de x a expansão em série de Maclaurin considerando apenas os três primeiros termos é uma boa aproximação.

[profjunior]

a)
O problema não nos forneceu as informações, onde a série Maclaurin está centrada, podemos considerar que ela está centrada em [tex3]x = 0[/tex3].

Daí,
[tex3]\frac{x}{\sqrt{(1-x^{2})}} \approx f(0)+(x-0).\frac{f'(0)}{1!}x+(x-0)^{2}.\frac{f''(0)}{2!}+...[/tex3]
Assim, [tex3]f(0)=\frac{0}{\sqrt{(1-0^{2})}}[/tex3]⇒[tex3]f(0)=0[/tex3]

Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, vem:
[tex3]f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1-x^{2})}^3}[/tex3]⇒[tex3]f'(0)=1[/tex3]

[tex3]f''(x)=\frac{(3x)\sqrt{1-x^2}}{{(1-x^{2})}^3}[/tex3]⇒[tex3]f''(0)=0[/tex3]

Portanto,
[tex3]\frac{x}{\sqrt{(1-x^{2})}} \approx0+x+0...[/tex3] □

b)
1º termo:
[tex3]f(0)=0e^0=0[/tex3]

2º termo:
[tex3]f'(x)=e^{-1x}-xe^{-x}[/tex3]
[tex3]f'(0)=e^{0}-0e^{0}=1-0=1[/tex3]
[tex3]\frac{1}{1!}=x[/tex3]

3º termo:
[tex3]f''(x)=-e^{-x}-(e^{-x}-xe^{-x})[/tex3]
[tex3]f''(0)=-2e^{0}+0e^0=-2[/tex3]
[tex3]\frac{-2}{2!}=-x^2[/tex3] □

Obs.: Faça a plotagem dos gráficos no WinPlot, é um programa gratuito, basta baixar.

Bons estudos,
Jair Vieira Silva Júnior.

[Alexander]

O profjunior está correto! Você tem dizer o que ponto onde a série está centrada, se for outro diferente de zero, por exemplo, um ponto [tex3]a[/tex3], você teria que usar o seguite:

[tex3]f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}.(x-a)^{k}[/tex3]

Onde [tex3]f^{(k)}[/tex3] é a k-ésima derivada de [tex3]f.[/tex3]

[theblackmamba]

Na verdade, já foi dito que a série é de MacLaurin. Por definição a série é centrada em a = 0.
Abraço.

[poti]

Existe uma certa confusão entre as definições. Nos livros brasileiros, define-se MacLaurin como centrada em zero e a generalizada como Taylor. Mas essa separação não ocorre em alguns textos estrangeiros.

Abraço!