Ensino Superior ⇒ Série de Maclaurin para ln Tópico resolvido

[mauriciosteh]

Encontre a séries de Maclaurin para [tex3]ln(1\pm x)[/tex3], e com estes resultados obtenha a série que representa [tex3]ln (\frac{1+x}{1-x})[/tex3].

[poti]

[tex3]1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \frac{1}{1 - x}, \ |x| < 1[/tex3]

Logo:

[tex3]1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \frac{1}{1+x}[/tex3]

Logo:

[tex3]1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + \dots = \frac{1}{x}[/tex3]

Integrando:

[tex3]\int [1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + \dots] = \int \frac{1}{x}[/tex3]

[tex3]x - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots = ln(x) + C[/tex3]

Substituindo [tex3]x = 1[/tex3]:

[tex3]\boxed{C = 1}[/tex3]

[tex3]x - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots = ln(x) + 1[/tex3]

[tex3]\boxed{(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots = ln(x)}[/tex3]

Fazendo a substituição pedida pelo enunciado:

[tex3]\boxed{ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots, \ |x| < 1}[/tex3]

[tex3]\boxed{ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots, \ |x| < 1}[/tex3]

Pelas propriedades dos logaritmos:

[tex3]ln(\frac{1+x}{1-x}) = ln(1+x) - ln(1-x)[/tex3]

[tex3]ln(\frac{1+x}{1-x}) = [x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots] - [-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots][/tex3]

[tex3]\boxed{ln(\frac{1+x}{1-x}) = 2(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots), \ |x| < 1}[/tex3]

Dica:

Resposta

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Se não tivesse enxergado o uso da progressão, poderia usar a definição para MacLaurin:

[tex3]f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^n[/tex3]

Abraço!