Pré-Vestibular ⇒ (UFPE - 2000) Polinômios

[beelvieira]

Seja [tex3]P(x)[/tex3] o polinômio com coeficientes reais de menor grau tal que [tex3]P(-1) = 0[/tex3], [tex3]P(0) = 1[/tex3] e [tex3]P(2) = 6[/tex3]. Indique a soma dos coeficientes de [tex3]P(x)[/tex3].

[Rafa2604]

Seja [tex3]P(x)[/tex3] o polinômio com coeficientes reais de menor grau tal que [tex3]P(-1) = 0[/tex3], [tex3]P(0) = 1[/tex3] e [tex3]P(2) = 6[/tex3].
Indique a soma dos coeficientes de [tex3]P(x)[/tex3].

Vamos supor que o polinômio P(x) seja da forma: [tex3]P(x) = ax+b[/tex3].
Portanto, teríamos que:
[tex3]P(-1) = -a + b = 0 \;\; \rightarrow \;\; a = b \\\\ P(0) = b = 1 \;\;\rightarrow \;\; a = b = 1 \\\\ P(2) = 2a + b = 6 \;\; \rightarrow \;\; 2 + 1 = 6 \;\; \rightarrow 3 \neq 6[/tex3]
Absurdo!!!

Vamos supor então que o polinõmio P(x) seja da forma: [tex3]P(x) = ax^2 + bx + c[/tex3]
Portanto, teríamos que:

[tex3]P(0) = 0 +0+ c = 1 \;\; \rightarrow \;\; c = 1 \\\\ P(-1) = a - b +1 = 0 \;\; \rightarrow \;\; a = b -1 \\\\ P(2) = 4a + 2b + 1 = 6 \;\; \rightarrow \;\; 4a + 2b = 5 \\\\ \rightarrow \;\; 4(b-1) +2b = 5 \;\; \rightarrow \;\; 4b - 4 +2b =5 \;\; \\\\ \rightarrow \;\; 6b = 9 \;\; \rightarrow \;\; b= \frac{9}{6} \;\; \rightarrow \;\; b = \frac{3}{2} \\\\ \rightarrow \;\; a = \frac{3}{2} - 1 \;\; \rightarrow \;\; a = \frac{1}{2}[/tex3]

Logo, temos que:
[tex3]P(x)= \frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x + 1[/tex3]

[tex3]a = \frac{1}{2} \;\;\; , \;\;\; b=\frac{3}{2} \;\;\; , \;\;\; c = 1 \;\;\; \rightarrow \;\;\; a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3[/tex3]