IME / ITA ⇒ (ITA - 1985) Triângulos Tópico resolvido

[jrneliodias]

Num triângulo [tex3]\text{ABC}[/tex3] considere conhecidos os ângulos [tex3]\text{BAC}[/tex3] e [tex3]\text{CBA}[/tex3] e a medida [tex3]\text{d}[/tex3] do lado [tex3]\text{AB}[/tex3]. Nestas condições, a área [tex3]\text{S}[/tex3] deste triângulo é dado pela relação:

a) [tex3]\text{S}=\frac{\text{d}^2}{2\,\text{sen}(\text{BAC}+\text{CBA})}[/tex3]

b) [tex3]\text{S}=\frac{\text{d}^2\,\text{sen}(\text{CBA})\,\text{sen}(\text{BAC})}{2\,\text{sen}(\text{BAC}+\text{CBA})}[/tex3]

c) [tex3]\text{S}=\frac{\text{d}^2\,\text{sen}(\text{CBA})}{2\,\text{sen}(\text{BAC}+\text{CBA})}[/tex3]

d) [tex3]\text{S}=\frac{\text{d}^2\,\text{sen}(\text{CBA})}{2\,\cos(\text{BAC}+\text{CBA})}[/tex3]

e) [tex3]\text{S}=\frac{\text{d}^2\,\text{sen}(\text{CBA})\,\text{sen}(\text{BAC})}{2\,\cos(\text{BAC}+\text{CBA})}[/tex3]

Resposta

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Resposta: b

Fonte: Coleção Elementos da Matemática 2 - Geometria. Marcelo Rufino e Márcio Pinheiro

[DerFreieGeist]

Chamando por [tex3]a[/tex3] a medida do lado [tex3]BC[/tex3] e por [tex3]b[/tex3] a medida de [tex3]AC[/tex3], temos que a medida do ângulo [tex3]ACB[/tex3] é igual a [tex3]ACB = 180 - CBA - BAC[/tex3]. Da lei dos senos, vem que:
[tex3]\dfrac{d}{\sen (180- CBA - BAC)} = \dfrac{b}{\sen (CBA)}\Rightarrow b = \dfrac{d\times \sen (CBA)}{\sen (CBA+BAC)}[/tex3]

*Devemos saber que [tex3]\sen (180 - \alpha) = \sen (\alpha)\Rightarrow Sen(180-CBA -BAC) = Sen(CBA +BAC)[/tex3]
De posse desses dados, podemos calcular a área [tex3](S)[/tex3] do triângulo a partir da seguinte fórmula:
[tex3]S=\dfrac{d\times b\times \sen (BAC)}{2}[/tex3]
Logo:
[tex3]S = \(d\times\dfrac{d\times \sen (CBA)}{\sen (CBA + BAC)}\times \sen (BAC)\)\dfrac{1}{2}\Rightarrow S = \dfrac{d^2\times \sen (CBA)\times \sen (BAC)}{2\sen (CBA + BAC)}[/tex3]
Assim a alternativa correta é a letra [tex3]b)[/tex3]. Apesar de eu não possuir o geogebra no momento pra ilustrar a situação, espero ter ajudado no seu entendimento! Abraços!