Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ) Equação Tópico resolvido

[PedroCunha]

Gostaria da resolução da seguinte questão, passo-a-passo se possível. Obrigado.

(UFRJ) Determine os valores reais de [tex3]x[/tex3] que satisfazem a equação:

[tex3]\displaystyle{\frac{x}{1 - \frac{1}{x}} + \frac{\frac{1}{x}}{1-x} = 1 + x + \frac{1}{x}}[/tex3]

Att.,
Pedro

[Cássio]

Olá PedroCunha.

Veja que a equação não é definida para [tex3]x=1[/tex3] ou [tex3]x=0.[/tex3]

Então, vamos apenas manipular a equação:

[tex3]\dfrac{x}{1-\frac{1}{x}}+\dfrac{\frac{1}{x}}{1-x}=1+x+\dfrac{1}{x}[/tex3]

[tex3]\iff\ \dfrac{x}{\frac{x-1}{x}}+\dfrac{1}{x(x-1)}=1+\dfrac{x^2+1}{x}[/tex3]

[tex3]\iff\ \dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{1}{x(1-x)}=\dfrac{x+x^2+1}{x}[/tex3]

[tex3]\iff \ \dfrac{x^3(1-x)+x-1}{x(x-1)(1-x)}=\dfrac{x^2+x+1}{x}.[/tex3] Cancelamos um [tex3]x[/tex3] nos denominadores:

[tex3]\iff\ \dfrac{x^3(1-x)+x-1}{(x-1)(1-x)}=x^2+x+1[/tex3]

[tex3]\iff\ x^3-x^4+x-1=(x-1)(1-x)(x^2+x+1)[/tex3]

[tex3]\iff\ x^3-x^4+x-1=-x^4+x^3+x-1[/tex3]

[tex3]\iff\ x^3-x^4+x-1-(-x^4+x^3+x-1)=0[/tex3]

[tex3]\iff\ 0=0.[/tex3]

Isso significa, que para todo [tex3]x\in\mathbb{R}-\{0,1\}[/tex3], a equação é verdadeira.

[PedroCunha]

Muito obrigado. Ótima resolução! Você é muito inteligente.

Att.,
Pedro