Olimpíadas ⇒ (Reino Unido - 1995) Equação Tópico resolvido

[viniciuscm]

Determine todas as triplas de inteiros positivos [tex3](a,\ b,\ c)[/tex3] tais que

[tex3](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})(c+\frac{1}{c})=2[/tex3]

[RafaeldeLima]

Olá viniciuscm,

Considere a seguinte desigualdade válida para quaisquer a e b Reais:

► [tex3](a-b)^2 \geq0[/tex3]

[tex3]a^2-2ab+b^2\geq0[/tex3]

Dividindo por ab:

[tex3]\frac{a}{b} - 2 +\frac{b}{a} \geq0[/tex3]

E então:

[tex3]\frac{a}{b} +\frac{b}{a} \geq2[/tex3]. Tome agora b=1 e teremos:

[tex3]a +\frac{1}{a} \geq2[/tex3], [tex3]\forall a \in R_+^*[/tex3].

Ou seja :

► [tex3]\(a +\frac{1}{a}\) \geq2[/tex3]

► [tex3]\(b +\frac{1}{b}\) \geq2[/tex3]

► [tex3]\(c +\frac{1}{c}\) \geq2[/tex3]

e fica lógico que :

[tex3](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})(c+\frac{1}{c})\geq8[/tex3]

[tex3]\forall[/tex3] a,b e c [tex3]\in R^*_+[/tex3]

Portanto:

[tex3]\cancel\exists[/tex3] a, b e c [tex3]\in Z_+[/tex3] tal que [tex3](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})(c+\frac{1}{c})=2[/tex3].

Abraços !

[viniciuscm]

Olá viniciuscm,

Considere a seguinte desigualdade válida para quaisquer a e b Reais:

► [tex3](a-b)^2 \geq0[/tex3]

[tex3]a^2-2ab+b^2\geq0[/tex3]

Dividindo por ab:

[tex3]\frac{a}{b} - 2 +\frac{b}{a} \geq0[/tex3]

E então:

[tex3]\frac{a}{b} +\frac{b}{a} \geq2[/tex3]. Tome agora b=1 e teremos:

[tex3]a +\frac{1}{a} \geq2[/tex3], [tex3]\forall a \in R_+^*[/tex3].

Ou seja :

► [tex3]\(a +\frac{1}{a}\) \geq2[/tex3]

► [tex3]\(b +\frac{1}{b}\) \geq2[/tex3]

► [tex3]\(c +\frac{1}{c}\) \geq2[/tex3]

e fica lógico que :

[tex3](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})(c+\frac{1}{c})\geq8[/tex3]

[tex3]\forall[/tex3] a,b e c [tex3]\in R^*_+[/tex3]

Portanto:

[tex3]\cancel\exists[/tex3] a, b e c [tex3]\in Z_+[/tex3] tal que [tex3](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})(c+\frac{1}{c})=2[/tex3].

Abraços !

Gostei da solução.
Só fazendo uma observação:
na hora de dividir a inequação por [tex3]ab[/tex3], esse valor deve ser positivo,
então só vale para reais de mesmo sinal [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3].
Mas isso é suficiente para nosso problema pois eles são inteiros positivos.