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Seja [tex3]f\left(x\right) \, = \, \sqrt{1 \, - \, x^{2}}[/tex3]. Use um argumento geométrico para encontrar [tex3]f' \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3].

Grande abraço!

Olá emanuel9393,

Se eu entendi de fato o que se deseja vamos lá:

O gráfico da função [tex3]f(x) = \sqrt{1-x^2}[/tex3] é a semi-circunferência de raio 1, centrada na origem e acima do eixo x. Quando [tex3]x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] facilmente percebemos que [tex3]y = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] portanto vamos encontrar a função tangente a semi-circunferência no ponto [tex3]A = \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]. Para isso, vamos definir a equação vetorial paramétrica da reta [tex3]r[/tex3] que passa pelo centro da semi-circunferência e pelo ponto [tex3]A[/tex3]:

[tex3]r(t) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot t, \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot t \right)[/tex3]

A partir disso, a reta [tex3]s[/tex3] tangente à semi-circunferência é perpendicular à reta [tex3]r[/tex3], logo seu vetor diretor é [tex3]\left(\frac{-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3] e passa pelo ponto [tex3]A[/tex3], logo sua equação vetorial paramétrica é

[tex3]s(t) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (1-t), \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (1+t) \right)[/tex3]

Cuja equação cartesiana é

[tex3]y(x) = -x + \sqrt{2}[/tex3]

Como para uma função [tex3]f(x)[/tex3] temos que a equação da reta tangente em um ponto [tex3]x = a[/tex3] é

[tex3]y(x) = f(a) + f'(a) \cdot (x-a)[/tex3]

Então [tex3]f'(a)[/tex3] é o coeficiente angular da equação da reta [tex3]y(x)[/tex3]. Como no nosso caso [tex3]y(x) = -x + \sqrt{2}[/tex3] possui coeficiente angular igual a [tex3]-1[/tex3] e pela construção [tex3]a = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3], temos que

[tex3]f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1[/tex3]

Concorda? Não estou certo se é isso que você desejava, mas espero que seja pelo menos um norteador...

Se você derivar [tex3]f(x) = \sqrt{1-x^2}[/tex3] você verificará que, de fato, [tex3]f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1[/tex3].

Olá, danmat!

É isso mesmo. Mas, acredito que não a reta tangente ao ponto A que você falou não passa pelo centro da semi-circunferência dada. Vaja a seguinte figura: Na figura dada, observamos que a reta tangente apresenta a mesma inclinação da reta de equação reduzida [tex3]y \, = \, -x[/tex3]. Ou seja:
[tex3]\frac{d}{dx} [-x] \, = \, -1 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \, = \, -1[/tex3]
Acredito que seja isso.

Grande abraço!

Observe: "A partir disso, a reta s tangente à semi-circunferência é perpendicular à reta r, logo seu vetor diretor é [tex3]\left(\frac{-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3] e passa pelo ponto A, logo sua equação vetorial paramétrica é..."

Eu não disse que a reta s tangente à semi-circunferência passa pelo centro, pois nesse caso ela seria uma reta secante e não tangente, correto?

O que disse foi:

"...portanto vamos encontrar a função tangente a semi-circunferência no ponto [tex3]A = \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]. Para isso, vamos definir a equação vetorial paramétrica da reta r que passa pelo centro da semi-circunferência e pelo ponto A..."

Ou seja é a reta r que tem o raio da semi-circunfência sobre ela que passa pelo centro e o ponto A, determinar sua equação vetorial paramétrica nos auxilia em determinar o vetor diretor da reta tangente, que certamente, será perpendicular ao vetor diretor da reta r. Entendeu?