Ensino Superior ⇒ Continuidade e derivadas Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

Mostre que
[tex3]f\left(x\right) \,= \, \begin{cases}x \sin \left(\frac{1}{x}\right), \,\,\, x \, \neq \, 0 \\ 0 \, , \,\,\,\,\,\, x \, = \, 0\end{cases}[/tex3]
é contínua, mas não-diferenciável em [tex3]x \, = \, 0[/tex3].

Grande abraço!

[danmat]

Olá emanuel9393,

Vamos verificar primeiramente que a função é contínua. O possível ponto de descontitnuidade é em [tex3]x = 0[/tex3], se a função [tex3]f(x)[/tex3] é contínua neste ponto, então vale

[tex3]\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0)[/tex3]

Portanto vamos calcular os limites laterais da função

[tex3]f\left(x\right) \,= \, \begin{cases}x \sin \left(\frac{1}{x}\right), \,\,\, x \, \neq \, 0 \\ 0 \, , \,\,\,\,\,\, x \, = \, 0\end{cases}[/tex3]

Primeiramente o limite à esquerda. Observe que:

[tex3]g(x) = x \Rightarrow \lim_{x \to 0^{-}} g(x) = 0[/tex3]

Além disso

[tex3]h(x) = \sin{\left(\frac{1}{x}\right)} \Rightarrow -1 \leq h(x) \leq 1[/tex3].

Ou seja, [tex3]h(x)[/tex3] é limitada. Daí pelo Teorema do Anulamento temos

[tex3]\lim_{x \to 0^{-}} g(x) \cdot h(x) = 0[/tex3]

Portanto, [tex3]\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 0[/tex3]

Analogamente ao procedimento anterior, concluímos o limite à direita:

[tex3]\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) = 0[/tex3]

E como [tex3]f(0) = 0[/tex3] por definição, então

[tex3]\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0)[/tex3]

E a função [tex3]f(x)[/tex3] é contínua em [tex3]R[/tex3]. Agora vamos decidir sobre sua não diferenciabilidade em [tex3]x = 0[/tex3], para que isso aconteça é necessário que suas derivadas laterais sejam iguais, assim:

[tex3]f'(0^{-}) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sin \left(\frac{1}{x}\right) - 0}{x-0}[/tex3]

[tex3]= \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \sin \left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

Mas este limite não está definido, o mesmo ocorrerá quando analisarmos sua derivada à direita.De outra forma podemos derivar [tex3]f(x)[/tex3] para [tex3]x \in R^*[/tex3]:

[tex3]f'(x) = \sin \left(\frac{1}{x}\right) - \frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x}[/tex3]

Claramente, [tex3]f'(x)[/tex3] não está definida para [tex3]x = 0[/tex3]


Portanto a função [tex3]f(x)[/tex3] não é diferenciável em [tex3]x = 0[/tex3].

Concorda?