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Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola [tex3]y \, = \, ax^2[/tex3], [tex3]a \, \neq \, 0[/tex3], intersecta um ponto que está em um reta vertical passando pelo ponto médio dos pontos de tangência.

emanuel9393:
Não consegui desenhar uma tangente decente e por isso deixei sem mas, creio que dá para entender o que fiz.
Sejam [tex3]N\,e\,M[/tex3] os pontos de tangência.
Seja [tex3]P[/tex3] o ponto médio do segmento [tex3]NM[/tex3], então: [tex3]x_p=\frac{m-n}{2}[/tex3]
Todos os pontos com esta abcissa estão na vertical que passa por [tex3]P[/tex3].
[tex3]y=ax^2\rightarrow y'=2ax[/tex3]

Temos:[tex3]f(m)=am^2[/tex3]
A tangente [tex3]T_m[/tex3]: [tex3]y-am^2=2am(x-m)\rightarrow y=2amx-am^2[/tex3]

Temos:[tex3]f(-n)=an^2[/tex3]
A tangente [tex3]T_n[/tex3]: [tex3]y-an^2=-2an(x+n)[/tex3]
[tex3]y=-2anx-an^2[/tex3]

Ponto onde as tangentes se encontram:
[tex3]-2anx-an^2=2amx-am^2[/tex3]
Isolando [tex3]x[/tex3]: [tex3]x=\frac{an^2-am^2}{-2an-2am}\rightarrow x=\frac{(n+m)(n-m)}{-2(n+m)}\rightarrow x=\frac{m-n}{2}[/tex3]

Então [tex3]x[/tex3] está sobre a reta vertical que passa por [tex3]P[/tex3].

Penso que é isso.
[ ]'s.