Concursos Públicos ⇒ Álgebra Tópico resolvido

[Wachsmuth]

A soma dos quatro algarismos logo após os 100 primeiros algarismos depois da vírgula da expansão decimal de [tex3]\frac{1}{1999}[/tex3] é igual a:
a)5541
b)5543
c)5545
d)5547
e)5549

[Alexandre_SC]

0,000[/b]5000200010000[/b]5000200010000500020001000050002000100005
a parte em negrito representa um ciclo.
não entendi sua pergunta somando, todos os 100 algarismo após a vírgula temos apenas 64.

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Na verdade, o exercício está querendo os quatro algarismo logo apóx os 100 primeiros, e não a soma. O enunciado está errado (pelo menos de acordo com as alternativas).

A fração 1/1999 é uma dízima com período contendo 1998 casas, e não apenas o valor indicado por você.

Essa questão envolve uma propriedade bem difícil, vou indicar um material para resolvê-la e, se você conseguir entender, poste aqui sua solução.

Clique aqui para baixar o material.

[poisedom]

Ao multiplicarmos [tex3]\frac{1}{1999}[/tex3] por [tex3]10^{100}[/tex3] teremos um valor na qual os 4 primeiros digitos após a virgula é justamente o valor que queremos calcular.

A parte decimal de [tex3]\frac{10^{100}}{1999}[/tex3] é igual ao resto dessa divisão por [tex3]1999[/tex3] então vamos calcular esse resto através de congruências

[tex3]10^4 \equiv 5 (mod 1999)[/tex3]
[tex3]10^5 \equiv 50 (mod 1999)[/tex3]
[tex3]10^{20}=(10^4)^5 \equiv (5)^5=3125 \equiv 1126 (mod 1999)[/tex3]
[tex3]10^{25}=10^{20}.10^5\equiv 1126.50= 56300\equiv 328 (mod 1999)[/tex3]
[tex3]10^{50}= (10^{25})^2\equiv 328^2=107584 \equiv 1637 (mod 1999)[/tex3]
[tex3]10^{100}=(10^{50})^2 \equiv 1637^2=2679769 \equiv 1109(mod 1999)[/tex3]

Assim o resto na divisão de [tex3]10^{100}[/tex3] por [tex3]1999[/tex3] é [tex3]1109[/tex3]
logo [tex3]\frac{1109}{1999}= 0,5547...[/tex3] então
Os quatro algarismos logo após os [tex3]100[/tex3] primeiros algarismos depois da vírgula da expansão decimal de [tex3]\displaystyle \frac{1}{1999}[/tex3] são [tex3]5547[/tex3]