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A figura abaixo mostra alguns membros típicos das famílias de hipérboles [tex3]x\cdot y \, = \, c[/tex3] (curvas pretas) e [tex3]\left(x \, - \, k\right)^{2} \, + \, y^{2} \,= \, k^{2}[/tex3] (curvas cinzas), onde [tex3]c \, \neq \, 0[/tex3] e [tex3]k \, \neq \, 0[/tex3]. Mostre que essas famílias são trajetórias ortogonais uma da outra.

Olá emanuel,
Poderia me confirmar se a segunda equação (curvas cinzas) não seria [tex3]x^2-y^2=k[/tex3] ? Pois a que você passou representa um círculo.

Abraço.

Eu achei o livro e confirmo o que havia dito anteriormente.

Para que haja ortogonalidade as retas tangentes a cada uma das famílias devem ser perpendiculares entre si.

Seja [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] as retas tangentes as curvas pretas e brancas, respectivamente. Se as retas são perpendiculares então deve ser verdade que [tex3]m_r\cdot m_s=-1[/tex3].

Achando os coeficientes angulares das retas tangentes derivando implicitamente as equações sendo [tex3](x_0,y_0)[/tex3] os pontos de tangência:

Curvas pretas:
[tex3]y_0+x_0y'=0[/tex3]
[tex3]y'=m_r=-\frac{y_0}{x_0}[/tex3]

Curvas cinzas:
[tex3]2x_0-2y_0y'=0[/tex3]
[tex3]y'=m_s=\frac{x_0}{y_0}[/tex3]

Como [tex3]m_r\cdot m_s=-1[/tex3] as trajetórias são ortogonais. CQD.
Abraço.