Pré-Vestibular ⇒ Potência de potência

[paulo testoniMOD]

Qual o resto da divisão da expressão

[tex3]345^{50}[/tex3]^23 + [tex3]456^{131}[/tex3]^40 * [tex3]234^{451}[/tex3]^80 por 11?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 0

[Thadeu]

Paulo, eu fiquei com uma dúvida, suas potências eram para ser entendidas [tex3](345)^{50^{23}}\,\,\,ou\,\,\,(345^{50})^{23}[/tex3]

Eu entendi da 2ª maneira, então:

[tex3]345^{50\times23}\,=\,345^{1150}\\456^{131\times40}\,=456^{5240}\\234^{451\times80}\,=\,234^{36080}[/tex3]

resolvendo separadamente:
1º) Dividindo 345 por 11 dá 31 e deixa resto 4, então, sendo [tex3]m\,\in\,IN[/tex3]:
[tex3]345^1\,=\,11m+4\\345^2\,=\,(345^1\times345^1)\,=\,11m+16\,=\,11m+5\\345^3\,=(345^2\times345^1)\,=\,11m+20\,=\,11m+9\\345^4\,=\,(345^3\times345^1)\,=\,11m+36\,=11m+3\\345^5\,=\,(345^4\times345^1)\,=\,11m+12\,=\,11m+1\\345^6\,=\,(345^5\times345^1)\,=\,11m+4\\345^7\,=\,(345^6\times345^1)\,=\,11m+16\,=\,11m+5[/tex3]

Repare que os restos se repetem de 5 em 5, logo, fazendo a divisão do expoente 1150 por 5, teremos resto zero (ou cinco), com isso, o valor do resto da potência [tex3]345^{1150}[/tex3], será igual ao resto da 5ª potência; logo o resto da divisão é igual a 1, pois [tex3]345^{1150}\,=\,345^5\,=\,11m+1[/tex3]

Usando o mesmo processo nas outra 2 potências, teremos, por coincidência, restos 1.

[tex3]456^{5240}\,=\,11m+1\\234^{36080}\,=\,11m+1[/tex3]

Logo o resto da expressão será
1 + (1) x (1) = 1 + 1 = 2
(2 dividido por 11 deixa resto 2)

Resto é igual a 2

Confira a expressão e me diga se eu me enganei.
Um abraço!

[paulo testoniMOD]

Hola Thadeu.

A escrita é potência de potência, ou seja:

345 elevado a potência 50 e 50 elevado a potência 23.