IME / ITA ⇒ (IME - 200) PA de Ordem Superior Tópico resolvido

[Ina18]

Calcule: [tex3]\sum_{k=1}^{n}k^2[/tex3].

[theblackmamba]

Veja uma interessante solução do Profº Caju: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_ma ... adrado.php

Abraço.

[Cássio]

Soluções parecidas:

viewtopic.php?t=21740?hilit=sum#p55110

Se não me engano, já postei o seguinte problema aqui no forum

Prove que a soma [tex3]1^p+2^p+3^p+...+n^p[/tex3] é sempre dada por um polinômio em [tex3]n,[/tex3] de grau [tex3]p+1.[/tex3]

Por exemplo: [tex3]\displaystyle\sum_{k=1}^nk=1+2+3+...+n[/tex3] é dado por um fórmula de segundo grau. Esse polinômio é
[tex3]\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{2}.[/tex3]

[tex3]\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+...+n^2[/tex3] é dada por um polinômio de terceiro grau, que como temos nas respostas é [tex3]\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{6}x[/tex3]

Analogamente, [tex3]1^3+2^3+3^3+...+n^3[/tex3] é um polinômio de quarto grau.

Sendo assim, poderíamos também procurar um polinômio de terceiro grau [tex3]a_n=pn^3+qn^2+rn+s,[/tex3] tal que

[tex3]a_1=1^2=1[/tex3]

[tex3]a_2=1^2+2^2=5[/tex3]

[tex3]a_3=1^2+2^2+3^2=14[/tex3]

[tex3]a_4=30[/tex3]

Mas isso é muito entediante. Melhor como os outros fizeram. Coloquei isso apenas por curiosidade. Achei bastante interessante esse resultado.

[caprecci]

Vou postar aqui uma solução que eu acho bem legal.

[tex3]\sum_{i=1}^{n} i^2=\sum_{i=1}^{n} i^2-i+i=\sum_{i=1}^{n} i^2-i+\sum_{i=1}^{n} i[/tex3]

Mas

[tex3]\sum_{i=1}^{n} i^2-i=\sum_{i=1}^{n} i\cdot(i-1)=\sum_{i=1}^{n} \frac{2\cdot i\cdot(i-1)}{2}=\sum_{i=1}^{n} \frac{2\cdot i!}{(i-2)!\cdot 2}=2\cdot\sum_{i=1}^{n}C_{i}^{2}[/tex3].

Como [tex3]C_{1}^{2}=0[/tex3] Temos pelo teorema das colunas do triangulo de pascal que [tex3]\sum_{i=p}^{n}C_{i}^{p}=C_{n+1}^{p+1}[/tex3]. Logo [tex3]2\cdot\sum_{i=1}^{n}C_{i}^{2}=2\cdot C_{n+1}^{3}=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}[/tex3]

Assim como [tex3]\sum_{i=1}^{n} i^2=\sum_{i=1}^{n} i^2-i+\sum_{i=1}^{n} i= 2\cdot\sum_{i=1}^{n}C_{i}^{2} +\frac{n(n+1)}{2}[/tex3]

Então:

[tex3]\sum_{i=1}^{n} i^2=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}+\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)\frac{2n-2+3}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex3]