Pré-Vestibular ⇒ (UERJ - 2001) Binômio de Newton Tópico resolvido

[Natan]

[tex3]\left(x+\frac{1}{x^5}\right)^n[/tex3]

Na potência acima, [tex3]n[/tex3] é um número natural menor do que [tex3]100.[/tex3]
Determine o maior valor de [tex3]n,[/tex3] de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo independente de [tex3]x.[/tex3]

[brain_tnt]

Termo Geral:

• [tex3]T_{p+1}= {n\choose p} \cdot x^{n-p}\cdot \left(\frac{1}{x^5}\right)^p[/tex3]

• [tex3]T_{p+1}={n\choose p} \cdot x^{n-p}\cdot (x^{-5})^p ={n\choose p}\cdot x^{n-p}\cdot x^{-5p}={n\choose p} \cdot x^{n-6p}[/tex3]

Para que tenhamos um termo independente de [tex3]x\,(x^0)[/tex3] devemos ter:

• [tex3]n-6p=0 \Longrightarrow n=6p,\text{ } p\in{\mathbb{N}}[/tex3]

Como [tex3]0<n<100,[/tex3] temos que o maior múltiplo de [tex3]6[/tex3] menor do que [tex3]100[/tex3] é [tex3]96.[/tex3]

Resposta: [tex3]n=96[/tex3]