Pré-Vestibular ⇒ (OSEC-1982) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Numa sucessão geométrica são conhecidos a soma 130 dos seus n primeiros termos,a soma 65/432 dos inversos desses n termos e o primeiro termo 16. Neste caso o valor do enésimo termo é uma das escolhas abaixo. Assinale a escolha certa.

a) 48
b) 64
c) 72
d) 108
e) 54

Resposta

---

e

[poti]

[tex3]\frac{16 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} = 130[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{q^n - 1}{q - 1} = \frac{130}{16}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{1}{16} \cdot (\frac{1}{q^n} - 1)}{\frac{1}{q} - 1} = \frac{65}{432}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{\frac{1}{q^n} - 1}{\frac{1}{q} - 1} = \frac{65}{27}}[/tex3]

Mexendo nesta última expressão:

[tex3]\frac{\frac{1 - q^n}{q^n}}{\frac{1 - q}{q}} = \frac{65}{27}[/tex3] (I)

Mexendo na primeira:

[tex3]q^n - 1 = \frac{130}{16} \cdot (q - 1)[/tex3]

Multiplicando ambos os lados por -1:

[tex3]1 - q^n = \frac{130}{16} \cdot (1 - q)[/tex3] (II)

Jogando (II) em (I):

[tex3]\frac{\frac{\frac{130}{16} \cdot \cancel{(1 - q)}}{q^n}}{\frac{\cancel{1 - q}}{q}} = \frac{65}{27}[/tex3]

[tex3]\frac{130}{16 \cdot q^{n-1}} = \frac{65}{27}[/tex3]

Com as devidas simplificações:

[tex3]\boxed{q^{n-1} = \frac{27}{8}}[/tex3]

Mas:

[tex3]a_n = a_1 \cdot q^{n-1}[/tex3]

Então:

[tex3]a_n = 16 \cdot \frac{27}{8}[/tex3]

[tex3]\boxed{a_n = 54}[/tex3]

Abraço!