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No desenvolvimento do binômio [tex3]\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)^n[/tex3],com [tex3]n>0[/tex3],a diferença entre os coeficientes do terceiro e segundo termos é igual a 90. Neste caso o termo independente de x no desenvolvimento é:
a) o terceiro
b) o quarto
c) o sexto
d) o sétimo
e) o quinto

Olá josé carlos,
Creio que haja um erro na digitação. Acho que seria [tex3]\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x} \right)^n[/tex3] confere ?

Coeficientes:

[tex3]T_{k+1}={n \choose k}[/tex3]

O terceiro termo [tex3]T_3[/tex3] vale [tex3]{n \choose 2}=\frac{n!}{2!\cdot (n-2)!}[/tex3] e o segundo termo [tex3]T_2[/tex3] vale [tex3]{n \choose 1}=\frac{n!}{1!\cdot (n-1)!}[/tex3]

[tex3]T_3-T_2=90[/tex3]
[tex3]\frac{n!}{2!\cdot (n-2)!}-\frac{n!}{1!\cdot (n-1)!}=90[/tex3]
[tex3]\frac{n\cdot (n-1)\cdot \cancel{(n-2)!}}{2\cdot \cancel{(n-2)!}}-\frac{n\cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}}=90[/tex3]
[tex3]n^2-n-2n=180[/tex3]
[tex3]n^2-3n-180=0[/tex3]
[tex3]n=-12[/tex3] (não serve pois é negativo)
[tex3]\boxed{n=15 }[/tex3]

Pelo desenvolvimento de Newton:
[tex3](x^{1/2}+x^{-1})^{15}={15\choose k}\cdot x^{\frac{15-k}{2}}\cdot x^{-k}[/tex3]. Usando as propriedades de potência:
[tex3](x^{1/2}+x^{-1})^{15}={15\choose k}\cdot x^{\frac{15-3k}{2}}[/tex3]

O termo independente é aquele em que o expoente do [tex3]x[/tex3] é nulo:
[tex3]\frac{15-3k}{2}=0[/tex3]
[tex3]\boxed{k=5}[/tex3]

Para [tex3]k=5[/tex3] temos que o termo independente é [tex3]T_{5+1}=T_6\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{6^{\circ}\,\,\text{termo}}[/tex3]. Letra C

Abraço.

Mais uma vez muito obrigado theblackmamba,é isto mesmo,houve um erro na transcrição.
Abraço.