Olimpíadas ⇒ Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal Tópico resolvido

[Filipe]

Quando expandida sob forma decimal, a fração [tex3]\frac{1}{97}[/tex3] possui um período com [tex3]96[/tex3] algarismos. Se os três últimos algarismos são [tex3]A67[/tex3], determine o valor de [tex3]A.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]p[/tex3] o período.

• [tex3]\Large\frac {1}{97}\large\,\cdot\,10^{96} \,-\, p\, =\, \Large\frac {1}{97}\large\,\Longleftrightarrow \,p\, =\, \Large\frac {10^{96}\, -\, 1}{97}\large[/tex3]

Definamos [tex3]x\, = \,U(x)[/tex3] o último algarismo de [tex3]x[/tex3].

Queremos encontrar os últimos dígitos do inteiro [tex3]\Large\frac {10^{96}\, -\, 1}{97}\large[/tex3].

• [tex3]\Large\frac {10^{96} \,- \,1}{97}\large \,=\, \cdots\, ABC.[/tex3]
  
  [tex3]9 \,=\, U(97\, \cdot\,C)\, = \,U(7\, \cdot\,C)\,\Longrightarrow\, C \,=\, 7.[/tex3]
  
  [tex3]9\, =\, U\left(97\, \cdot\,B \,+\, \Large\frac{97\, \cdot\,C \,-\, 9}{10}\large\right)\, =\, U(97\, \cdot\,B \,+ \,67) \,=\, U(7\, \cdot\,B \,+\, 7)\,\Longrightarrow\, B \,=\, 6.[/tex3]
  
  [tex3]9\, =\, U\left(97\, \cdot\,A \,+\, \Large\frac{97\, \cdot\,BC\, -\, 99}{100}\right) \,=\, U(97\, \cdot\,A \,+\, 64) \,=\, U(7\, \cdot\,A \,+ \,4)\,\Longrightarrow\, A \,= \,5.[/tex3]