Estude! Com Prof. Caju

Essa questão, parece ser difícil, eu ainda não consegui resolver, encontrei
ela numa lista de problemas propostos, sobre a função de Euler:
[tex3]\phi(n)=[/tex3] número de inteiros positivos menores que [tex3]n[/tex3] e que são
relativamente primos com [tex3]n[/tex3].


(Alemanha) Seja [tex3]n[/tex3] inteiro positivo, tal que [tex3]4^n+2^n+1[/tex3] é um número
primo, prove que [tex3]n[/tex3] é potência de [tex3]3[/tex3].
Obs: provar que [tex3]n=3^t[/tex3] para algum [tex3]t[/tex3] natural.

Se alguém consegui ao menos descobrir algo ou imaginar alguma forma
de solução, favor publique, para resolvermos juntos.

Eu consegui mostrar que para [tex3]n\ne1[/tex3] temos que [tex3]n[/tex3] é um múltiplo de [tex3]3[/tex3] ímpar.
Fiz isso, analisando módulo [tex3]3[/tex3] e [tex3]7[/tex3]. (pois um primo não pode ser múltiplo de
[tex3]3[/tex3] ou [tex3]7[/tex3] exceto esses).

Olá, Amigo! Verifiquei alguns casos no wolfram e notei que essa afirmação falha quando n = 27 ou seja n= 3³.

Você verificou que aquela expressão não é primo?

O que ele diz é que se a expressão for prima, então n é potência. Mas não quer dizer que se n é potencia de 3, então a expressão será primo.