Pré-Vestibular ⇒ (UFU - 2003) Complexos Tópico resolvido

[jrneliodias]

Se [tex3]S=i+i^2+i^3+\cdots+i^{2003}[/tex3], em que [tex3]i^2=-1[/tex3], então [tex3]S[/tex3] é igual a:

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]-1[/tex3]
c) [tex3]i[/tex3]
d) [tex3]i-1[/tex3]

Resposta

---

Resposta: c

[PedroCunha]

Repare que temos uma [tex3]P.G.[/tex3] com razão [tex3]i[/tex3],[tex3]a_1 = i[/tex3] e [tex3]a_{n} = i^{2003}[/tex3]

Primeiro, achamos o número de termos da P.G.:

[tex3]a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \therefore i^{2003} = i \cdot i^{n-1} \therefore \frac{i^{2003}}{i} = i^{n-1} \therefore i^{2002} = i^{n-1} \therefore 2002 = n-1 \therefore \boxed{n = 2003}[/tex3]

Agora aplicamos a fórmula da soma dos termos da P.G.:

[tex3]S = S_n = \frac{a_1 \cdot (q^{n} - 1)}{q - 1} \therefore S = S_{2003} = \frac{i \cdot (i^{2003} - 1)}{i - 1} \therefore \boxed{S = \frac{i^{2004} - i}{i - 1}}, mas \, temos \, que \, i^{2004} = i^4 = 1, logo:

\\\\

S = \frac{i^{2004} - i}{i - 1} \therefore S = \frac{1 - i}{i - 1}, \,\, agora \,\, multiplicando \,\, em \,\, cima \,\, e \,\, em \,\, baixo \,\, pelo \,\, conjugado \,\, de \,\, i-1:

\\\\


S = \frac{i^{2004} - i}{i - 1} \therefore S = \frac{1 - i}{i - 1} \therefore S = \frac{(1 - i) \cdot (i + 1)}{(i - 1) \cdot (i + 1)} \therefore S = \frac{i + 1 - i^2 - i}{i^2 - 1^2} \therefore S = \frac{ 1 - (-1)}{-1 - 1} \therefore S = \frac{2}{-2} \therefore \boxed{\boxed{S = -1}}[/tex3]

Logo, a resposta correta é a letra [tex3]B[/tex3]

P.S.: Eu pesquisei e o no gabarito oficial a resposta certa é a letra [tex3]B[/tex3] e não a [tex3]C[/tex3] como foi dito por você.

[jrneliodias]

Obrigado, PedroCunha, pela sua atenção e sua pesquisa. Cheguei ao mesmo resultado que você. Abraço.

[PedroCunha]

É um prazer ser útil, .

Att.,
Pedro

[Radius]

Uma maneira mais sucinta de resolver o problema é observar que:

[tex3]i+i^2+i^3+i^4=0[/tex3]

e esse arranjo se repete para [tex3]i^5+i^6+i^7+i^8[/tex3] e sucessivamente.

Podemos então dividir os 2003 termos da soma em 500 grupos desses 4 números, restando os três últimos.
Como a soma dos 500 grupos é zero, nos resta:

[tex3]S=i^{2001}+i^{2002}+i^{2003}[/tex3]

[tex3]S=i^{2000}(i+i^2+i^3)[/tex3]

[tex3]S=1\cdot (i-1-i)=\boxed{-1}[/tex3]