Pré-Vestibular ⇒ Determine os pares ordenados Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Determine os pares ordenados [tex3](x,y)[/tex3], com [tex3]x < y[/tex3], tal que [tex3]m.d.c.(x,y) = 12[/tex3] e [tex3]m.m.c.(x,y) = 240[/tex3]

[Thadeu]

[tex3]MDC \,(x,y) = 12\,\Rightarrow\,MDC\,(x,y)\,=\,2^2\,\times\,3\\MMC(x,y)\,=240\,\Rightarrow\,MMC(x,y)\,=\,2^4\,\times\,3\,\times\,5[/tex3]

MDC é o produto dos fatores "comuns" com os "menores" expoentes
MMC é o produto dos fatores "comuns e os não comuns" com os "maiores" expoentes

Com isso podemos dizer que [tex3]x=2^2\,\times\,3=12\,\,e\,\,y=2^4\,\times\,3\,\times\,5=120\,\,ou\,\,x=2^4\,\times\,3=48\,\,e\,\,y=2^2\,\times\,3\,\times\,5=60[/tex3]

Os dois pares ordenados possíveis com x < y, são (12, 120) e (48, 60)

[paulo testoniMOD]

Hola Thadeu.

Agradeço a sua solução, mas vou colocar uma outra forma de resolver:

Resolução:

Sejam A e B os números procurados. Podemos escrever:

A*B/m.d.c. = m.m.c. ou

A*B/12 = 240 ou, ainda:

A/12 * B/12 = 240/12 = 20

Como A/12 e B/12 são primos entre si, haverá tantas soluções para o problema quantos são os grupos de dois números primos cujo produto é 20. Como há dois grupos nessas condições, a saber

1.º grupo: 1 e 20

2.º grupo: 4 e 5, o problema apresenta duas soluções:

1.ª solução:
A/12 = 1, donde 12*1 = 12
B/12 = 20, donde 12*20 = 240

2.ª solução:
A/12 = 4, donde 12*4 = 48
B/12 = 5, donde 12*5 = 60

Logo os pares ordenados são:

(12,240) e (48,60)