IME / ITA ⇒ ( Colégio Naval - 1979 ) Álgebra Tópico resolvido

[menelaus]

O sistema

[tex3]\begin{cases}
mx + y = 1 + 3x \\
2x - 3y = my
\end{cases}[/tex3]

a) É possível e determinado para todo [tex3]m[/tex3].
b) É impossível para [tex3]m \ne 2[/tex3] e [tex3]m \ne 1[/tex3].
c) É possível e indeterminado para [tex3]m = 2[/tex3] e [tex3]m = 1[/tex3].
d) Não é indeterminado, qualquer que seja o valor de [tex3]m[/tex3].
e) Não é impossível, seja qual for o valor de [tex3]m[/tex3].

[jrneliodias]

Olá, Menelaus.

Arrumando o sistema:

[tex3]\begin{cases}(m-3)\,x+y=1\\2x-(m+3)\,y=0\end{cases}[/tex3]

Tomando a primeira equação, multipliquemos por [tex3](m+3)[/tex3], então:

[tex3]\begin{cases}(m+3)(m-3)\,x+(m+3)\,y=(m+3)\\2x-(m+3)\,y=0\end{cases}[/tex3]

Fazendo a diferença com a segunda e, com resultado, substituindo na primeira linha:

[tex3]\begin{cases}[(m+3)(m-3)+2]\,x=m+3\\2x-(m+3)\,y=0\end{cases}[/tex3]

Então:

[tex3]\begin{cases}x=\frac{m+3}{m^2-7}\\2x-(m+3)\,y=0\end{cases}[/tex3]

Substituindo na segunda, chegaremos a:

[tex3]x=\frac{m+3}{m^2-7}\,\,\,\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,\,\,\,y=\frac{2(m+3)}{(m+3)(m^2-7)}[/tex3]


Então comcluímos que:

1) Se [tex3]m=-3[/tex3] ou [tex3]|m|=\sqrt{7}[/tex3], o sistema será impossível.

2) Se [tex3]m\neq -3[/tex3] ou [tex3]|m|\neq \sqrt{7}[/tex3], o sistema será possível e determinado.


Portanto:

Resposta: d

Espero ter ajudado, abraço.

[Cássio]

Olá,

gostaria de dar minha resposta:

[tex3]\iff \begin{cases}y=1-mx+3x\\ 2x=(m+3)y\end{cases}\ \\ \ \\ \ \\
\Rightarrow 2x=(m+3)(1-mx+3x)=9x-m^2x+m+3\ \\ \ \\
\Rightarrow (7-m^2)x+m+3=0.[/tex3]

Veja que [tex3]x[/tex3] é variável, então só não teremos solução quando o coeficiente que o acompanha for zero e o termo independente diferente de zero. Ou seja, não possui solução quando [tex3]7-m^2= 0[/tex3] e [tex3]m+3\ne 0.[/tex3] Mas [tex3]7-m^2=0\iff m=\pm\sqrt7\ \ \Rightarrow \ \ m+3\ne 0.[/tex3]

De fato, quando [tex3]m\ne \pm\sqrt{7},[/tex3] temos [tex3]x=\dfrac{m+3}{m^2-7}[/tex3] e [tex3]y=1+\dfrac{9-m^2}{m^2-7}=\dfrac{2}{m^2-7}.[/tex3]

Ou seja, possui solução sempre que [tex3]m\ne\pm\sqrt7.[/tex3]