Ensino Médio ⇒ Inequações Modulares

[reLaN]

Achar o conjunto solução das seguintes desigualdades:

a)[tex3]|x+4| \leq |2x-6|[/tex3]

b)[tex3]|6-2x| \geq 7[/tex3]

[olgario]

Olár reLAN?! Vamos ver se eu o consigo ajudar.

a) [tex3]|x+4|\,\leq\,|2x-6|[/tex3]

[tex3](x+4)^2\,\leq\,(2x-6)^2[/tex3]

[tex3]x^2+8x+16\,\leq \,4x^2-24x+36[/tex3]

[tex3]3x^2-32x+20\,\leq\, 0[/tex3]

Encontremos os zeros da função quadrática da desigualdade acima.

[tex3]3x^2-32x+20 = 0[/tex3]

[tex3]x = \frac {32\pm\sqrt{32^2-4.3.20}}{2.3}\Rightarrow x = \frac {32\pm\sqrt{784}}{6} \Rightarrow x = \frac {32\pm 28}{6} \begin{cases}x_1 = \frac{32+28}{6} = \frac{60}{6} = 10\\
x_2 = \frac{32-28}{6} = \frac{4}{6} = \frac {2}{3}\\\end{cases}[/tex3]

Zeros: = [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]10[/tex3]

Como o coeficiente de [tex3]x^2 = 3\,\gt\, 0[/tex3] a concavidade da parábola é voltada para cima.

Como se pretende o intervalo onde a função é [tex3]\leq 0[/tex3],ou seja negativa, esse intervalo é o que fica entre os "zeros" e abaixo do eixo do [tex3]x[/tex3].

Logo, a solução é:

S=[tex3]\[\frac{2}{3}\, ,\, 10\][/tex3]

---

b)

[tex3]|6-2x| \,\geq 7[/tex3]

Resolução:

[tex3]6-2x \leq-7[/tex3] ou [tex3]6-2x \geq 7[/tex3]

[tex3]\,-2x\, \leq\,-7-6\,[/tex3] ou [tex3]\,-2x\, \geq \,7-6\,[/tex3]

[tex3]\,-2x\, \leq\,-13\,[/tex3] ou [tex3]\,-2x\, \geq \,1\,[/tex3]
como os termos em [tex3]x[/tex3] estão negativos, para que eles fiquem positivos, se multiplicam por (-1) fazendo o mesmo aos do outro membro e aí o sinal se inverte.

[tex3]\,2x\, \geq\,13\,[/tex3] ou [tex3]\,2x\, \leq\,-1\,[/tex3]

[tex3]x \geq\frac{13}{2}[/tex3] ou [tex3]x \leq\frac{-1}{2}[/tex3]

Transpondo o resultado para a reta real orientada fica, para o lado de [tex3]+\infty[/tex3], são todos os valores maiores ou iguais que [tex3]\frac{13}{2}[/tex3]
Para o lado de [tex3]-\infty[/tex3], são todos os valores menores ou iguais que [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

O que dá com solução o intervalo [tex3]\[\frac{13}{2}\, ,\,\frac{-1}{2}\][/tex3]