Ensino Médio ⇒ Inequações Modulares

[reLaN]

Achar o conjunto solução das seguintes desigualdades:

a) [tex3]\| \frac{5}{2x-1} \| \geq \| \frac{1}{x-2} \|[/tex3]

Solução:

---

[tex3]| \frac{5}{2x-1} | \geq | \frac{1}{x-2} |[/tex3]

• [tex3]2x-1\not= 0\Longrightarrow x\not=\frac{1}{2}[/tex3]
  
  [tex3]x-2\not= 0\Longrightarrow x\not=2[/tex3]

Sabendo que [tex3]\left|\Large\frac{a}{b}\large\right|\leq\left|\Large\frac{c}{d}\large\right|\Longleftrightarrow\left|\Large\frac{b}{a}\large\right|\geq\left|\Large\frac{d}{c}\large\right|[/tex3], temos:

• [tex3]\left|\Large\frac{2x-1}{5}\large\right|\geq |x-2|\Longrightarrow |2x-1|\geq5|x-2|,[/tex3]

pois o módulo de um quociente é o quociente dos módulos. Além disso, [tex3]|5|=5[/tex3]. Também sem prejuízo, multiplicamos ambos os lados da desigualdade por [tex3]5[/tex3].

Elevando ambos os membros ao quadrado, vem:

• [tex3](|2x-1|)^2\geq (5|x-2|)^2\Longrightarrow (2x-1)^2\geq 25(x-2)^2[/tex3].

[tex3]|k|^2=k^2[/tex3]. Por isso elevamos ao quadrado.


Agora, simplicando, obtemos

• [tex3]21x^2-96x+99\geq 0.[/tex3]

• [tex3]S=\left]-\infty,\,\frac{11}{7}\right] \cup [3,\,+\infty[- \left\{\frac{1}{2}\right\}[/tex3].

Note que [tex3]3[/tex3] e [tex3]\frac{11}{7}[/tex3] são soluções, basta substituir.

b) [tex3]\frac{1}{3x-7} \geq \| \frac{4}{3-2x} \|[/tex3]

Solução:

---

[tex3]\frac{1}{3x-7} \geq \left| \frac{4}{3-2x}\right| \Longleftrightarrow\left| \frac{4}{3-2x}\right|\leq\frac{1}{3x-7}[/tex3]

• [tex3]3-2x\not=0\Longrightarrow x\not=\frac{3}{2}[/tex3]

Como o módulo de um número real é sempre um número positivo ou zero, e zero ou todo número positivo é maior do que qualquer número negativo, devemos impor

• [tex3]\frac{1}{3x-7}\geq 0\Longrightarrow \boxed{x\gt\frac{7}{3}}[/tex3].

Aplicando a mesma idéia do item (a), encontramos a inequação

• [tex3]28x^2-132x+155\leq 0,[/tex3]

cuja solução é [tex3]\left[\frac{31}{14},\,\frac{5}{2}\right][/tex3].

A interseção deste intervalo com [tex3]\left]\frac{7}{3},\,+\infty\right[[/tex3] é o intervalo [tex3]\left]\frac{7}{3},\,\frac{5}{2}\right][/tex3].

[AnthonyC]

Já solucionada pelo autor do tópico.

[jeabud]

reLaN, AnthonyC, na letra a n teria q inverter o sinal?

Pois |[tex3]\frac{1}{4}[/tex3] | [tex3]\leq [/tex3] | [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] |

|[tex3]\frac{4}{1}[/tex3] | [tex3]\geq [/tex3] |[tex3]\frac{2}{1}[/tex3] | ?


Na letra b, n pode pensar dessa maneira?
Mas n está batendo c a resposta...fiz só a primeira parte aqui...

Outra coisa tb...em inequação modular precisa garantir q o outro lado seja [tex3]\geq [/tex3] 0?

Em equação modular eu sei q sim...mas em inequação nk fiz c.e, vou postar um exemplo feito do iezzi...

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Pensei assim...mas travei.....

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[petrasMOD]

jeabud,
Desenvolvendo como o Yezzi

Letra B
[tex3]|\frac{4}{3-2x}|[/tex3]
Teremos duas situações; [tex3]x > \frac{3}{2}~ ou~x < \frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]Para~x < \frac{3}{2} (I)\rightarrow \frac{4}{3-2x}\\ \frac{4}{3-2x}-\frac{1}{3x-7}\leq 0\\
\frac{12x-28-3+2x}{9x-21-6x^2+14x}\leq 0\\
\frac{14x-31}{-6x^2+23x-21}\leq 0\rightarrow \frac{3}{2}< x \leq \frac{31}{14} ~ou ~x > \frac{7}{3}(II)\\
(I)\cap(II) = \emptyset (i)[/tex3]

[tex3]Para~x > \frac{3}{2} (III)\rightarrow \frac{4}{2x-3}\\ \frac{4}{2x-3}-\frac{1}{3x-7}\leq 0\\
\frac{12x-28-2x+3}{6x^2-14x-9x+21}\leq 0\\
\frac{10x-25}{6x^2-23x+21}\leq 0\rightarrow \frac{7}{3}< x \leq \frac{5}{2} ~ou~ x < \frac{3}{2}(IV)\\
(III)\cap(IV) = \frac{7}{3}< x \leq \frac{5}{2} (ii)\\
\therefore(i)\cup(ii) = \boxed{\color{red}(\frac{7}{3}, \frac{5}{2} ]} [/tex3]

[jeabud]

petras, estou tentando entender pq o seu ficou para x > 3/2 —> [tex3]\frac{4}{2x-3}[/tex3] e para x < 3/2 o inverso

Pq n tem q mudar o sinal de Td?

|[tex3]\frac{4}{3-2x}[/tex3] | [tex3]\leq [/tex3] 0

Se x > 3/2 e supondo x = 4
4/-5 = - 4/5 negAtivo então muda o sinal de Td certo?

-4/-3+2x se x > 3/2

Se x < 3/2 e supondo q x = 0
4/3 positivo

4/3-2x se x < 3/2

[petrasMOD]

jeabud,

Conceito de módulo:

|x| = x se x > 0 e -x se x <0


A raiz será x = 2/3
Veja que para valores abaixo de 3/2 a fração ficará positiva e acima ficará negativa
_______________3/2_______________
+++++++++++++++3/2---------------------
Assim ficaremos com

[tex3]\frac{4}{3-2x}~para ~x < \frac{3}{2} e\\
-(\frac{4}{3x-2})=\frac{4}{2x-3}para ~x> \frac{3}{2}[/tex3]

Se você mudar o sinal em cima e mbaixo teremos a mesma fração, ou troca o de cima ou o de baixo

[jeabud]

petras, é mesmo esqueci disso...pro negativo obg pelos esclarecimentos petras

[petrasMOD]

A raiz será x = 2/3

Corrigindo, a raiz será 3/2