IME / ITA ⇒ (ITA - 2007) Geometria Plana: Polígonos Regulares Tópico resolvido

[Venésse]

Seja [tex3]P_n[/tex3] um polígono regular de [tex3]n[/tex3] lados, com [tex3]n>2.[/tex3] Denote por [tex3]a_n[/tex3] o apótema e por [tex3]b_n[/tex3] o comprimento de um lado de [tex3]P_n.[/tex3] O valor de [tex3]n[/tex3] para o qual valem as desigualdades

• [tex3]b_n \leq a_n[/tex3] e [tex3]b_{n-1} > a_{n-1},[/tex3]

pertence ao intervalo.

a) [tex3]3<n<7.[/tex3]
b) [tex3]6<n<9.[/tex3]
c) [tex3]8<n<11.[/tex3]
d) [tex3]10<n<13.[/tex3]
e) [tex3]12<n<15.[/tex3]

[fabit]

Por construção, é isósceles o triângulo formado por um lado e os raios que chegam do centro às extremidades desse lado. Para [tex3]P_n,[/tex3] a base desse triângulo é [tex3]b_n[/tex3] e a altura é [tex3]a_n.[/tex3] Coloquemos esses dois parâmetros em função do raio [tex3]R[/tex3] e de [tex3]n.[/tex3]

Angulo central:

• [tex3]\theta=\frac{2\pi}{n}\Rightarrow \begin{cases}\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{b_n/2}{R}\Rightarrow b_n=2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\\\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{a_n}{R}\Rightarrow a_n=R\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \end{cases}[/tex3]

• [tex3]\begin{array}{rl} b_n \leq a_n &\Rightarrow 2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \leq \cos \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
  & \Rightarrow \tan \left(\frac{\pi}{n}\right) \leq \frac{1}{2}\\
  & \Rightarrow \frac{\pi}{n} \leq \arctan \frac{1}{2} \\
  & \Rightarrow n \geq \frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}
  \end{array}[/tex3]

• [tex3]\begin{array}{rl} b_{n-1}>a_{n-1} &\Rightarrow 2\sin\left(\frac{\pi}{n-1}\right) > \cos \left(\frac{\pi}{n-1}\right)\\
  &\Rightarrow \tan \left(\frac{\pi}{n-1}\right) > \frac{1}{2} \\
  &\Rightarrow \frac{\pi}{n-1}> \arctan \frac{1}{2} \\
  & \Rightarrow n-1< \frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}\\
  & \Rightarrow n < \frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}+1
  \end{array}[/tex3]

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• [tex3]\frac{\pi}{\arctan\frac{1}{2}} \leq n< \frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}+1,[/tex3]

isto é,

• [tex3]n\in\left[\frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}};\text{ }\frac{\pi}{\arctan \frac{1}{2}}+1\right).[/tex3]

Através de uma calculadora científica,

• [tex3]\frac{\pi}{\arctan{\frac{1}{2}}} \approx 6,776 \Rightarrow 6,7 \leq n < 7,7 \Rightarrow n=7.[/tex3]

[fabit]

Achei outra forma de fazer. Essa dispensa a calculeta.

• [tex3]a_n = R \cos \left( \frac{\pi}{n} \right)[/tex3] e [tex3]b_n = R \sqrt{ 2 - 2 \cos \left( \frac{2\pi}{n} \right)}[/tex3] (por lei dos cossenos).

• [tex3]\begin{array}{rl} a_n > b_n &\Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) > \sqrt{2 - 2\cos \left( \frac{2\pi}{n} \right)}\\
  &\Rightarrow \cos^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) > 2 - 2 \cos \(\frac{2\pi}{n}\) \\
  &\Rightarrow \frac{1+\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2} > 2 - 2 \cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) \\
  &\Rightarrow 1 + \cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) > 4 - 4 \cos \left(\frac{2\pi}{n}\right).
  \end{array}[/tex3]

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• [tex3]5\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) > 3 \Rightarrow \cos \left(\frac{2\pi}{n}\right) > \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{2\cancel{\pi}}{n} < \frac{ \cancel{\pi}}{3} \Rightarrow 3 < \frac{n}{2}\Rightarrow 6<n.[/tex3]

Então [tex3]n=7.[/tex3]

Boa questão!

[Ornitorrindo]

Ainda tenho uma dúvida nessa questão, apesar do intervalo de 14 anos haha. Como você concluiu essa parte:

2pi/n < pi/3

Não entendi como chegou nessa conclusão, agradeço desde já.

[fabit]

Faz muito tempo (postagem de 2008). Perdão pela falta de clareza.

É que o 3/5 está "entre" as duas coisas que me interessa comparar. Vou escrever em decimal...

[tex3]\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)>0,6>0,5=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\frac{2\pi}{n}<\frac{\pi}{3}\ldots etc[/tex3]

[fabit]

Tenho que atualizar o rodapé. Agora somos OCTA.