Estude! Com Prof. Caju

Existe um teorema da Álgebra Linear que afirma:
"Se [tex3]\mathbb{W}_1[/tex3] e [tex3]\mathbb{W}_2[/tex3] são subespaços do espaço vetorial [tex3]\mathbb{E}[/tex3], [tex3]\mathbb{W}_1 \cap \mathbb{W}_2[/tex3] é subespaço de [tex3]\mathbb{E}[/tex3]"

A recíproca dessa implicação é válida? Ou seja:
"Dados dois subconjuntos [tex3]\mathbb{W}_1[/tex3] e [tex3]\mathbb{W}_2[/tex3]do espaço vetorial [tex3]\mathbb{E}[/tex3], se [tex3]\mathbb{W}_1 \cap \mathbb{W}_2[/tex3] é um subespaço de [tex3]\mathbb{E}[/tex3] então [tex3]\mathbb{W}_1[/tex3] e [tex3]\mathbb{W}_2[/tex3] são subespaços de [tex3]\mathbb{E}[/tex3]."

Olá Patrick.

A resposta é não.

Basta pegar dois subconjuntos [tex3]\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2[/tex3] tais que [tex3]\mathbb{W}_1\cap \mathbb{W}_2=0[/tex3] e algum deles não seja subespaço.

Exemplo: [tex3]\mathbb{W}_1=\{(x, x^2)\mid x\in\mathbb{R}\}[/tex3] e [tex3]\mathbb{W}_2=\{(0,0)\}.[/tex3] Temos que [tex3]\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2=\{(0, 0)\}[/tex3] é subespaço de [tex3]\mathbb{R}^2.[/tex3] No entanto, [tex3]\mathbb{W}_1[/tex3] não é subespaço de [tex3]\mathbb{R}^2.[/tex3]

Entendi