Olá Wachsmuth,
Para que a equação tenha raízes racionais, o seu
[tex3]\Delta[/tex3] deve ser um quadrado perfeito.
- [tex3]\Delta = k^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3[/tex3]
[tex3]\Delta = k^2 - 48[/tex3]
Agora devemos testar um por um os valores possíveis de
[tex3]k[/tex3] e ver quais resultam em um quadrado perfeito.
Mas você deve estar achando que iremos testar infinitos valores... mas não! Existem algumas restrições que podemos ver antes.
A primeira diz respeito ao sinal, ou seja,
[tex3]\Delta > 0.[/tex3] Para isso, vemos que
[tex3]k \geq 7.[/tex3]
Queremos que
[tex3]\Delta[/tex3] seja um quadrado perfeito, portanto, vamos dizer que ele será
[tex3]\Delta = j^2[/tex3] onde
[tex3]j[/tex3] é um número inteiro. Então:
- [tex3]k^2-48 = j^2[/tex3]
[tex3]k^2-j^2 = 48[/tex3]
Analisando a seqüência dos quadrados perfeitos:
- [tex3]\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots\}[/tex3]
Vemos que a diferença entre dois números consecutivos segue como uma PA dos números ímpares:
- [tex3]4 - 1 = 3\\
9 - 4 = 5\\
16 - 9 = 7\\
25 - 16 = 9\\
36 - 25 = 11\\
\ldots[/tex3]
Portanto, para acontecer
[tex3]k^2-j^2 = 48,[/tex3] com certeza
[tex3]k\leq 24,[/tex3] pois
[tex3]25^2 - 24^2 = 49,[/tex3] que já é maior do que
[tex3]48.[/tex3]
Então devemos testar os valores entre
[tex3]7[/tex3] e
[tex3]24,[/tex3] inclusive. Pois é, é trabalhoso mesmo, mas é certo de achar a resposta.
- [tex3]\begin{aligned}
k = 7 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{1} \\
k = 8 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{16} \\
k = 9 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 33 \\
k = 10 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 52 \\
k = 11 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 73 \\
k = 12 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 96 \\
k = 13 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{121} \\
k = 14 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 148 \\
k = 15 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 177 \\
k = 16 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 208 \\
k = 17 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 241 \\
k = 18 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 276 \\
k = 19 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 313 \\
k = 20 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 352 \\
k = 21 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 393 \\
k = 22 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 436 \\
k = 23 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 481 \\
k = 24 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 528
\end{aligned}[/tex3]
Veja que somente os três valores grifados resultam em um quadrado perfeito. Ou seja, só temos
[tex3]3[/tex3] valores
positivos de
[tex3]k[/tex3] que satisfazem o enunciado. Mas lembre-se que
[tex3]k[/tex3] está ao quadrado, ou seja, os mesmos números, com sinal negativo, também satisfazem .
Resposta final,
[tex3]6[/tex3] possibilidades.
Atenciosamente
Prof. Caju
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