Olimpíadas ⇒ (IIT-JEE - 2013) Geometria Analítica Tópico resolvido

[theblackmamba]

A abcissa do incentro do triângulo tais que as coordenadas dos pontos médios dos lados são [tex3](0,1),\,\,(1,1),\,\,(1,0)[/tex3] é:

[tex3]1)\,\,1-\sqrt{2}\\2)\,\,2+\sqrt{2}\\3)\,\,2-\sqrt{2}\\4)\,\,1+\sqrt{2}[/tex3]

Agradeço a atenção na questão!

Resposta

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[tex3](3)[/tex3]

[manerinhu]

sejam [tex3]A (ax,\ ay)[/tex3], [tex3]B(bx,\ by)[/tex3] e [tex3]C(cx,\ cy)[/tex3] os pontos do triângulo pelos pontos médios, temos

[tex3]ax + bx = 0[/tex3]
[tex3]ay + by = 2[/tex3]

[tex3]bx + cx = 2[/tex3]
[tex3]by + cy = 2[/tex3]

[tex3]ac + cx = 2[/tex3]
[tex3]ay + cy = 0[/tex3]

Resolvendo esse sistema amigável de equações, você vai encontrar

[tex3]A(0,0); B(0,2); C(2,0)[/tex3]

Nesse triângulo em especial (por ter um dos lados na origem e ser retângulo isósceles), a ordenada e a abscissa do centro serão iguais ao raio

Assim, podemos usar

[tex3]A=pr[/tex3]
[tex3]2 = (2+\sqrt{2})r[/tex3]
[tex3]r = 2-\sqrt{2}[/tex3]