IME / ITA ⇒ (EPCAR - 2002) Equação Biquadrada Tópico resolvido

[mfp]

O Produto das raízes da equação [tex3]7+\sqrt{x^{2}-1} = x^{2}[/tex3] é:

a) [tex3]-50[/tex3]
b) [tex3]-10[/tex3]
c) [tex3]-5[/tex3]
d) [tex3]50[/tex3]

[PedroCunha]

Vamos lá.

[tex3]7 + \sqrt{x^2 - 1} = x^2 \therefore 7 - x^2 = -\sqrt{x^2 - 1} \therefore (7-x^2)^2 = (-\sqrt{x^2-1})^2 \therefore 49 - 14x^2 + x^4 = x^2 - 1 \therefore \\ \boxed{x^4 - 15x^2 + 50 = 0}

\\\\

\text{Fazendo} \,\, y = x^2:

\\\\

y^2 - 15y + 50 = 0 \rightarrow Delt. = 25 \rightarrow y' = \frac{15 + 5}{2} \therefore \boxed{y' = 10}, \,\,\,\,\, y'' = \frac{15 - 5}{2} \therefore \boxed{y'' = 5}

\\\\

\text{Voltando em} \,\, y = x^2 :

\\\\

I) 10 = x^2 \therefore \boxed{x = \pm \sqrt{10}} \\
II)5 = x^2 \therefore \boxed{x = \pm \sqrt{5}} \\

\\\\

\text{Como temos uma equacao biquadrada, devemos verificar as raizes:} \\\\

I) 7 + \sqrt{5 -1} = 5 \therefore 11 = 5 \,\, (F) \\
II) 7 + \sqrt{10 - 1} = 10 \therefore 10 = 10 (V) \\

\\\\

\text{Logo, o produto das raizes e:}

\\\\

-\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \therefore \boxed{\boxed{-10}}[/tex3]

Att.,
Pedro