Concursos Públicos ⇒ (CESPE/UNB-SEDUC-CE 2009) Números Complexos

[cicero444]

Um ornitólogo concluiu, a partir de suas pesquisas, que a altura máxima que os indivíduos de determinada espécie de pássaros conseguem atingir durante o voo é, em km, igual à metade do quadrado da maior distância entre dois números complexos que satisfazem à equação [tex3]z^{3}=8i[/tex3]. Nessa situação, a altura máxima atingida por indivíduos dessa espécie é

A) inferior a 2,5 km.
B) superior a 2,5 km e inferior a 5 km.
C) superior a 5 km e inferior a 7,5 km.
D) superior a 7,5 km.

[csmarceloMOD]

OBS: para resolver esse exercício, utilizei a fórmula de De Moivre para radiciação de números complexos que diz que, dado um número complexo z qualquer, suas n raízes serão:

[tex3]z_k=\sqrt[n]{p}\(\text{cos}(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n})+i.\text{sen}(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n})\), k \in \{0, 1, 2,...,n-1\}[/tex3]

Passando [tex3]z^{3}[/tex3] para a forma trigonométrica, temos que [tex3]z^{3}=8(\text{cos}\frac{\pi}{2}+i.\text{sen}\frac{\pi}{2})[/tex3] e suas 3 raízes são:

[tex3]z_0 = \sqrt[3]{8}(\text{cos}\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+i.\text{sen}\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})=
2({\text{cos}\frac{5\pi}{6}}+i.{\text{sen}\frac{5\pi}{6}})=-\sqrt{3}+i\rightarrow A(-\sqrt{3}, 1)\\
z_1 = \sqrt[3]{8}(\text{cos}\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+i.\text{sen}\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})=
2({\text{cos}\frac{3\pi}{2}}+i.{\text{sen}\frac{3\pi}{2}})=-2i\rightarrow B(0, -2)\\
z_2 = \sqrt[3]{8}(\text{cos}\frac{\frac{\pi}{2}+6\pi}{3}+i.\text{sen}\frac{\frac{\pi}{2}+6\pi}{3})=
2({\text{cos}\frac{\pi}{6}}+i.{\text{sen}\frac{\pi}{6}})=\sqrt{3}+i\rightarrow C(\sqrt{3}, 1)[/tex3]

m(AC) = m(AB) = m(BC) = [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]

Portanto, a altura máxima atingida por indivíduos dessa espécie é, em kms, igual a: [tex3]\frac{(2\sqrt{3})^{2}}{2}=\frac{12}{2}=6[/tex3]

Resposta: letra C.

[ProfessorX]

Considerando z = a + bi, teremos o seguinte:
[tex3]\left ( a+bi \right )^{3}=8i\Rightarrow \left ( a+bi \right )\left ( a+bi \right )^{2}=8i\Rightarrow [/tex3]
[tex3]\left ( a+bi \right )\left ( a^{2}+2abi-b^{2} \right )=8i\Rightarrow a^{3}+2a^{2}bi-ab^{2}+a^{2}bi-2ab^{2}-b^{3}i=8i\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\left ( a^{3}-3ab^{2} \right )+\left ( 3a^{2}b-b^{3} \right )i=8i[/tex3]
Para que essa igualdade seja verdadeira devemos ter:
[tex3]a^{3}-3ab^{2}=0[/tex3] e [tex3]3a^{2}b-b^{3}=8[/tex3]
Fatorando a primeira parte, temos:
[tex3]a^{3}-3ab^{2}=0\Rightarrow a\left ( a^{2}-3b^2 \right )=0[/tex3]
Temos então duas situações:
1ª situação Se a = 0, então:
[tex3]3a^{2}b-b^{3}=8\Rightarrow 3\cdot 0^{2}\cdot b- b^{3}=8[/tex3]
[tex3]\Rightarrow -b^{3}=8\Rightarrow b^{3}=-8[/tex3]
[tex3]b=\sqrt[3]{-8}\Rightarrow b=-2[/tex3]
Dai temos a primeira solução z = (0,-2)
2ª situação: Se [tex3]a^{2}-3b^{2}=0
[/tex3] então
[tex3]a^{2}-3b^{2}=0\Rightarrow a^{2}=3b^{2}[/tex3]
substituindo [tex3]a^{2}[/tex3] em [tex3]3a^{2}b-b^{3}=8[/tex3] temos:
[tex3]3\cdot \left ( 3b^{2} \right )\cdot b-b^{3}=8\Rightarrow [/tex3]
[tex3]9b^{3}-b^{3}=8\Rightarrow [/tex3]
[tex3]8b^{3}=8\Rightarrow [/tex3]
[tex3]b=1[/tex3]
Portanto:
[tex3]a^{2}=3b^{2}\Rightarrow a^{2}=3\cdot 1^{2}\Rightarrow [/tex3]
[tex3]a^{2}=3\Rightarrow a=\pm \sqrt{3}[/tex3]
Dai temos as outras duas soluções: [tex3]z = \left ( -\sqrt{3},1 \right )[/tex3] e [tex3]z = \left ( \sqrt{3},1 \right )[/tex3]
Para terminar, perceba que esses números complexos são "equidistantes" , ou seja, tanto faz calcular a distância de quaisquer dois deles sempre dará o mesmo valor. Então vamos usar [tex3]z = \left ( \sqrt{3},1 \right )[/tex3] e [tex3]z=\left ( 0,-2 \right )[/tex3]. Temos então:
[tex3]\therefore d=\sqrt{\left ( \sqrt{3}-0 \right )^{2}+\left ( 1-\left ( -2 \right ) \right )^{2}}[/tex3]
[tex3]d=\sqrt{3+9}\Rightarrow d=\sqrt{12}[/tex3]
Conclui-se que:
[tex3]\frac{d^{2}}{2}= \frac{\sqrt{12}^{2}}{2} = \frac{12}{2}=6[/tex3]
Alternativa correta: C