Concursos Públicos ⇒ (CESPE/UNB-SEDUC-CE 2009) Números Complexos Tópico resolvido

[cicero444]

Se os números complexos [tex3]z[/tex3] e w são tais que [tex3]\text{Im} (z) = (20 -z) \cdot i,\hspace{10pt}i \cdot w + 3 = i \cdot \text{Re} (w)[/tex3],[tex3]|w|=5[/tex3] e [tex3]\frac{z}{w}\in \mathbb{R}[/tex3], então, nesse caso, [tex3]|z| + |w|[/tex3] é igual a

[tex3]a)\,\, 10 + 15\sqrt{2}\\
b) \,\,5 + 10\sqrt{3}\\
c) \,\,25\\
d) \,\,30[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Cicero.


Seja [tex3]z=a+bi[/tex3] e [tex3]w=c+di[/tex3]:

01.
[tex3]Im(z)=(20-z)\cdot i\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,b=(20-a-bi)i\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,b=20i-ai+b\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\\\boxed{a=20}[/tex3]



02. [tex3]iw+3=i\,Re(w)\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,ci-d+3=ci\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,[/tex3]

[tex3]\boxed{d=3}[/tex3]


03. [tex3]\frac{z}{w}\,\in\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{20+bi}{c+3i}\,\in\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{(20+bi)(c-3i)}{\underbrace{c^2+3^2}_{|w|^2}}\,\in\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,[/tex3]

[tex3]\frac{(20+bi)(c-3i)}{25}\,\in\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{20c+3b}{25}+\frac{i(bc-60)}{25}\,\in\,\mathbb{R}[/tex3]

Como esse número é real, a parte imaginária é nula. Logo:
[tex3]bc=60[/tex3]

Já que [tex3]|w|=5[/tex3], então:
[tex3]c^2+d^2=25\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,c^2=16[/tex3]

Para achar o [tex3]|z|[/tex3] devemos obter [tex3]\sqrt{a^2+b^2}[/tex3], então não importa [tex3]b[/tex3] e sim o quadrado dele. Logo elevarei ao quadrado [tex3]bc=60[/tex3]:
[tex3]b^2\cdot c^2=3600[/tex3]

Substituindo [tex3]c^2=16[/tex3]:
[tex3]b^2=\frac{900}{4}[/tex3]

Então:
[tex3]\sqrt{a^2+b^2}=25[/tex3]

Portanto:
[tex3]\boxed{|z|+|w|=30}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.