Física I ⇒ Momento de Inércia e Torque

[lecko]

Uma roda cilíndrica homogênea, de raio R e massa M, rola sem deslizar sobre um plano horizontal, deslocando-se com velocidade v, e sobe sobre um plano inclinado de inclinação [tex3]\theta[/tex3], continuando a rolar sem deslizamento. Até que altura h o centro da roda subirá sobre o plano inclinado ?

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[lecko]

Não sei se está certo:

A altura máxima será dada ao ponto que o cilindro atingir o equilíbrio.
Então:
[tex3]v^2=v_o^2+2aS[/tex3] , sendo [tex3]v=0[/tex3], então:
[tex3]-v_o^2=2aS \therefore -(\omega_o\cdot R)^2=2\alpha\cdot R\phi\cdot R \therefore -\omega_o^2=2\alpha\phi[/tex3] [tex3](I)[/tex3], sendo [tex3]\alpha<0[/tex3], pois estamos adotando o sentido de giração como sendo horário.

da Segunda lei de Newton para rotações:
[tex3]\tau=-I\cdot \alpha[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

sendo que a única força agente sobre o cilindro é a Peso, decompondo-a, podemos escrever:
[tex3]\tau=R\cdot P\cdot \sen\theta[/tex3] [tex3](III)[/tex3]

da geometria do plano inclinado podemos ter que [tex3]d[/tex3] é a distância que o cilindro percorre ao subir no plano, e da definição matemática tem-se: [tex3]d=\phi\cdot R[/tex3] [tex3](IV)[/tex3]
E mais: [tex3]\sen\theta=\frac{h}{d}[/tex3] [tex3](V)[/tex3]
de [tex3](IV)[/tex3] e [tex3](V)[/tex3]:
[tex3]\sen\theta=\frac{h}{\phi\cdot R}[/tex3] [tex3](VI)[/tex3]

usando [tex3](II)[/tex3], [tex3](III)[/tex3] e [tex3](VI)[/tex3]:
[tex3]-I\alpha=R\cdot P\cdot \sen\theta[/tex3]

isolando [tex3]\alpha[/tex3] em [tex3](I)[/tex3] e substituindo no que foi obtido acima:
[tex3]-I\cdot \frac{(-\omega_o^2)}{2\phi}=P\cdot R\cdot \frac{h}{\phi\cdot R}[/tex3]

[tex3]\frac{I\omega_o^2}{2P}=h[/tex3], sendo [tex3]I=mR^2[/tex3] e [tex3]P=mg[/tex3]:

[tex3]\frac{R^2\omega_o^2}{2g}=h \therefore \frac{v_o^2}{2g}=h[/tex3]

[tex3]{\color{red} h=\frac{v_o^2}{2g}}[/tex3]

[lecko]

Acredito que esteja correto, pois:

O ponto de altura máxima é atingido quando toda energia cinética transformar-se em potencial, e então teria-se:
[tex3]\frac{mv_o^2}{2}=mgh[/tex3], daí:
[tex3]h=\frac{v_0^2}{2g}[/tex3]

[tex3]\color{red}h=\frac{v_0^2}{2g}[/tex3]

[micro]

Não, está enganado. Isso seria se fosse exercício do ensino médio que despreza a massa da roda. você não está considerando a energia cinética rotacional: [tex3]K_{rot}=\frac{1}{2}Iw^2[/tex3]

Como é um cilindro sólido temos [tex3]I=\frac{1}{2}MR^2[/tex3]

Então a energia mecânica inicial seria [tex3]E_i=\frac{1}{2}Iw^2+\frac{1}{2}Mv^2[/tex3]

Então basta igualar com a energia potencial
[tex3]\frac{1}{2}Iw^2+\frac{1}{2}Mv^2=Mgh[/tex3]
[tex3]\color{red}h=\frac{3v^2}{4g}[/tex3]

Bem-vindo a faculdade.

[lecko]

Cara, tenho uma duvida, eu vi uma tabela com vários momentos de inércia de sólidos, mas como faço para calcular se o professor não der isso na prova(se tratando do meu professor, certamente não dará) ?

[micro]

Geralmente ele dá porque é absurdo decorar tudo.

Caso não der só memoriza o da polia ou cilindro sólido maciço: [tex3]I=\frac{1}{2}MR^2[/tex3]

[theblackmamba]

Realmente decorar tudo é um absurdo. Porém decore apenas os mais importantes:

Cilindro sólido ou disco com eixo de rotação passando pelo centro e paralelo ao solído: [tex3]\frac{1}{2}MR^2[/tex3]
Barra com eixo de rotação no centro da barra e perpendicular ao comprimento: [tex3]\frac{1}{12}ML^2[/tex3]

Para descobrir o momento de inércia na hora da prova utilize a integral:

[tex3]I=\int r^2 \,dm[/tex3], onde [tex3]r[/tex3] a distância do centro de uma massa [tex3]dm[/tex3] e largura [tex3]dx[/tex3] até o eixo de rotação. Faça variar [tex3]r[/tex3] nos extremos da barra em relação ao eixo de rotação.

Se for o caso de o eixo de rotação ficar no centro do sólido, de preferência, coloque o objeto no plano cartesiano de forma que haja simetria, e com eixo de rotação sendo o eixo [tex3]y[/tex3].

Abraço.

[theblackmamba]

Complementando a resolução:

O enunciado pede a que altura o centro do disco atinge. A parte mais baixa do disco atinge uma altura máxima [tex3]h[/tex3], porém o centro do disco atinge uma altura [tex3]R+h=R+\frac{3v^2}{4g}[/tex3]

Abraço.

[micro]

Bem analisado Blackmamba. Isso com certeza não é um ponto material, acho que tem que fazer o desenho com as dimensões exatas pra evitar esse tipo de erro.

[Socrates]

Se a bola esta rolando, no topo no plano ela evidentemente nao estará mais rolando, para isto, é necessário um torque que anule sua rotaçao certo?
Esse torque só pode vir do atrito neste caso, uma vez que nem a normal, tampouco o peso, produziriam torque, certo?
Entao por que nem levamos em conta o trabalho feito pela força de atrito??