Ensino Médio ⇒ (Cesgranrio-1990) Geometria Analítica

[FRANCISCO749]

Uma circunferência passando pela origem, tem raio [tex3]2[/tex3] e o centro [tex3]C[/tex3] na reta [tex3]y=2x[/tex3]. Se [tex3]C[/tex3] tem coordenadas positivas, uma equação dessa circunferência é:

Gabarito

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[tex3]\(\,x\,-\,\frac{2\sqrt5}{5}\,\) ^2 +\, \(\,y\,-\,\frac{4\sqrt5}{5}\,\) ^2 =4[/tex3]

Gostaria de saber como encontrar os valores do centro,pois encontrei a resposta substituindo o valor da origem (0,0) na equação.

Desde já muito obrigado.

[jrneliodias]

Olá, Francisco.

Se a circunferência passa pela origem. Então podemos dizer que a distância entre o a origem e o centro é o valor do raio. Seja [tex3]C\,(\,a\,,\,b\,)[/tex3], então:

[tex3]\sqrt{a^2+b^2}=2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a^2+b^2=4[/tex3]

É dito que [tex3]C[/tex3] pertence a reta [tex3]y=2x[/tex3], então jogando suas coordenadas na equação da reta:

[tex3]b=2a[/tex3]

Subsituindo na equação anterior:

[tex3]a^2+4a^2=4\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a^2=\frac{4}{5}[/tex3]

[tex3]a>0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,a=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3]

Temos que [tex3]b=2a[/tex3]:

[tex3]b=\frac{4\sqrt{5}}{5}[/tex3]

Tendo a forma [tex3](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2[/tex3] da circunferência, obteremos:

[tex3]\left(x-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2+\left(y-\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2=4[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.