Pré-Vestibular ⇒ (Unifor-CE) Binomio de Newton Tópico resolvido

[Aurelio]

Sejam A e B, respectivamente, o quarto e o quinto termos do desenvolvimento do binômio [tex3](2x+\frac{1}{x})^n[/tex3] segundo as potências decrescentes de x. Se [tex3]\frac{A}{B}=x^2[/tex3], então determine o valor de [tex3]n[/tex3].

Resposta

---

R: n=11

[theblackmamba]

Olá Aurelio,

[tex3](2x+x^{-1})^n=\sum_{k=0}{n \choose k}\cdot (2x)^{n-k}\cdot (x^{-1})^k[/tex3]
[tex3](2x+x^{-1})^n=\sum_{k=0}{n \choose k}\cdot 2^{n-k}\cdot x^{n-2k-1}[/tex3]

É possível ver substituindo valores para [tex3]n,k[/tex3] que o expoente de [tex3]x[/tex3] vai decrescendo.

Termo geral:

[tex3]T_{k+1}={n\choose k}\cdot 2^{n-k}\cdot x^{n-2k-1}[/tex3]

[tex3]T_4={n \choose 3}\cdot 2^{n-3}\cdot x^{n-7}[/tex3]
[tex3]T_5={n \choose 4}\cdot 2^{n-4}\cdot x^{n-9}[/tex3]

[tex3]\frac{A}{B}=x^2[/tex3]
[tex3]\frac{{n \choose 3}\cdot 2^{n-3}\cdot x^{n-7}}{{n \choose 4}\cdot 2^{n-4}\cdot x^{n-9}}=x[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{\cancel{n!}}{3!\cdot (n-3)!}}{\frac{\cancel{n!}}{4!\cdot (n-4)!}}\cdot 2^1\cdot x^2=x^2[/tex3]
[tex3]\frac{4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}}\cdot \frac{\cancel{(n-4)!}}{(n-3)\cdot \cancel{(n-4)!}}\cdot 2=1[/tex3]
[tex3]n-3=8[/tex3]
[tex3]\boxed{n=11}[/tex3]

Abraço.