Pré-Vestibular ⇒ (UEPG) Logaritmos e Progressão Geométrica Tópico resolvido

[PedroCunha]

(UEPG) - Três números naturais "a","b" e "c", diferentes de zero, estão em progressão geométrica, nesta ordem. Se a razão desta P.G., é r [tex3](r \in N^{*})[/tex3], assinale o que for correto:

Gostaria de saber o porquê da seguinte afirmação estar correta:

04) [tex3]\log r = \frac{\log c - \log a}{2}[/tex3]

Att.,
Pedro

[Juniorhw]

A PG é: [tex3]a,b,c[/tex3]. Veja que a razão pode ser dada por: [tex3]r=\sqrt{\frac{c}{a}}[/tex3]. Aplicando log em ambos os lados:

[tex3]logr=log\sqrt{\frac{c}{a}}\\\\logr=log(\frac{c}{a})^{\frac{1}{2}}\\\\logr=\frac{1}{2}log(\frac{c}{a})\\\\\boxed{logr=\frac{1}{2}(logc-loga)}[/tex3]

Espero que ajude.

[jrneliodias]

Olá, Pedro.

Se [tex3](\,a\,,\,b\,,\,c\,)[/tex3] é uma PG, então sabemos que

[tex3]\frac{c}{b}=\frac{b}{a}=r[/tex3]

Multiplicando a igualdade por [tex3]ab[/tex3], teremos:

[tex3]ac=b^2=abr[/tex3]

Olhando para a primeira parte:

[tex3]b^2=ac\,\cdots\,(I)[/tex3]

Olhando para o primeiro e terceiro termo:

[tex3]\cancel{a}c=\cancel{a}br\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\log c=\log b+\log r\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\log r=\log c-\log b[/tex3]

Substituindo [tex3](I)[/tex3]:

[tex3]\log r=\log c-\log (ac)^\frac{1}{2}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{\log r=\frac{\log c-\log a}{2}}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[PedroCunha]

Obrigado aos dois.

Uma dúvida Juniorhw :

Porque a razão pode ser dada por [tex3]\sqrt{\frac{c}{a}}[/tex3] ?

Att.,
Pedro

[Juniorhw]

Veja que [tex3]\frac{c}{b}=\frac{b}{a}=r[/tex3], Então:

[tex3]\frac{c}{b}\cdot \frac{b}{a}=r^2\\\\\frac{c}{a}=r^2\\\\r=\sqrt{\frac{c}{a}}[/tex3]


abraço!

[jedi]

como eles formam um pg então

[tex3]c=a.r^2[/tex3]

[tex3]\frac{\log c-\log a}{2}=\frac{\log a.r^2-\log a}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{\log c-\log a}{2}=\frac{\log r^2+\log a-\log a}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{\log c-\log a}{2}=\frac{\log r^2}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{\log c-\log a}{2}=\frac{2\log r}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{\log c-\log a}{2}=\log r[/tex3]

[PedroCunha]

Obrigado a todos!

Entendi tudo.

Abraços