Ensino Médio ⇒ (Iezzi)- Sistema de logaritmos. Tópico resolvido

[BrunoCFS]

Calcule [tex3]\left\{\begin{matrix}
\sqrt[x]{(\log \, \, x\, \, \cdot \, \, \log \, \, y)^{y}}=1024 & \\
x^{\log \, \, y}+y^{\log \, \, x}=200 &
\end{matrix}\right.[/tex3]

Tentei resolver assim, mas travei nessa parte aqui.
Peguei a primeira equação.
[tex3]\sqrt[x]{(\log \, \, x\, \, \cdot \, \, \log \, \, y)^{y}}=1024[/tex3]
[tex3]\left ( \log \, \, y^{\log \, \, x} \right )^{\frac{y}{x}}=1024[/tex3]
[tex3]\left ( \log \, \, y^{\log \, \, x} \right )=1024^{\frac{x}{y}}[/tex3]
[tex3]\log \, \, \left ( \log \, \, y^{\log \, \, x} \right )=\log \, \, 1024^{\frac{x}{y}}[/tex3]
Parei ai nessa parte. Como prossigo ?
Até ai esta certo ?

[jrneliodias]

Olá, Bruno.

O que você fez está certo, mas não é útil. Com o aumento da complexidade de um sistema, acaba-se obtendo isso as vezes. Faça assim:

[tex3]\sqrt[x]{(log\, \, x\, \, .\, \, log\, \, y)^{y}}=1024\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\log x\cdot \log y=2^{\frac{10x}{y}}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\\\\\log y=\frac{2^{\frac{10x}{y}}}{\log x}\,\,\cdots\,(I)[/tex3]

Substitua na segunda. Vá com fé

[BrunoCFS]

[tex3]x^{log\, \, y}+y^{log\, \, x}=200[/tex3]
[tex3]x^{\frac{2^{\frac{10x}{y}}}{\log x}}+y^{log\, \, x}=200[/tex3]
caramba... tentei aplicar log em ambos os lados, mas não deu em nada. Não consigo enxergar a continuação dela e eh sério eu to me esforçando.....>
Verdade, eu aumentei o nível das minhas questões de sistema.

[jrneliodias]

Olá, Bruno. Desculpe não ter postado antes. Falei besteira. Não acredite no que eu falo as três horas da manhã kk.

Bem, fazemos [tex3]\log x=a[/tex3] e [tex3]\log y= b[/tex3]. Teremos:

[tex3]\begin{cases} \sqrt[10^a]{(a\cdot b)^{10^b}}=1024 & \\ (10^a) ^{b}+(10^b)^{a}=200 \end{cases}[/tex3]

Agora, vamos simplificar o sistema em um menor:

[tex3]\begin{cases}(ab)^{10^{b-a}}=2^{10} \\ 2\cdot 10^{ab}=2\cdot 10^2 \end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\begin{cases}ab=2^{10^{a-b+1}} \\ 10^{ab}=10^2 \end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\begin{cases}ab=2^{10^{a-b+1}} \\ ab=2 \end{cases}[/tex3]

Substituindo na primeira equação:

[tex3]\begin{cases}2=2^{10^{a-b+1}} \\ ab=2 \end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\begin{cases}1=10^{a-b+1} \\ ab=2 \end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\begin{cases}0=a-b+1 \\ ab=2 \end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,[/tex3]

[tex3]\begin{cases} b-a=1 \\ ab=2 \end{cases}[/tex3]

Agora resolvemos normalmente. Substituindo a primeira na segunda equação:

[tex3]a\,(a+1)=2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a^2+a-2=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a=-2\,\,\,\,ou\,\,\,\,a=1[/tex3]

Deste modo:

[tex3]b=-1\,\,\,\,ou\,\,\,\,b=2[/tex3]

Por fim, resubstituímos:

[tex3]\small a=-2\,\,\,e\,\,\,b=-1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\log x=-2\,\,\,\,e\,\,\,\,\log y=-1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x=0,01\,\,\,e\,\,\,b=0,1[/tex3]

Solução não válida, pois [tex3]x[/tex3] é índice de um radical, então ele deve ser Natural.

[tex3]\small a=1\,\,\,e\,\,\,b=2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\log x=1\,\,\,\,e\,\,\,\,\log y=2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x=10\,\,\,e\,\,\,b=100[/tex3]

Portanto,

[tex3]\boxed{S=\{\,10\,,\,100\,\}}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[BrunoCFS]

Kkkkk, Obrigado pela ajuda Jrneliodias. Mais tarde tentarei resolve-la sem olhar a resolução.
Obrigado...

Abraço !